Application de classe $C^1$
Réponses
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Disons que $h$ est constante. Est-ce que toute application dont l'image est constante est $C^1$ ? Non bien sûr.
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Je ne comprends pas ce que tu dis, Math Coss, je suis désolé.
Qu'appelles-tu une application dont l'image est constante ? Je suis désolé, c'est surement évident, mais je ne comprends vraiment pas. Pour moi, une application dont l'image est constante c'est juste une application constante (enfin, je ne vois pas quel autre sens donner à ça :-S) et une telle application est bien $C^1$, je crois. Toutes les applications que je regarde dans ce cas sont soit des applications linéaires, soit définies sur des ouverts de $\R^n$...
Bref, je suis manifestement à côté de la plaque, mais là, je nage complètement... -
Ok, je crois que je vois mieux. Tu dis que si $h$ est constante toutes mes application $g(x)$ vont avoir la même image.
Mais effectivement, je ne peux même pas en conclure que $g$ est continue. D'accord.
EDIT : et merci ! -
C'est ça. Pour prendre un exemple simple, $k=n=1$ et disons $h$ nulle. La contrainte dit que $g$ a pour image $\R$, i.e. qu'elle n'est pas nulle. La contrainte « nulle part égale à zéro » ne donne aucune condition de régularité, pas $C^1$ et, comme tu l'as dit, pas même $C^0$.
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