Fonction de Darboux

C'est expliqué ici : Théorème_de_Darboux

[Correction du lien. AD]

Le sens direct est évident donc cette preuve ne s'intéresse qu'à la réciproque.

Outre le fait de se donner $\varepsilon>0$, il faut aussi se donner $x\in I$.
De plus, $F=\{y\in I\mid f(y)=f(x)-\varepsilon\text{ ou }f(y)=f(x)+\varepsilon\}$ est fermé dans $I$ en tant que réunion de deux fermés et il ne contient pas $x$.
Ainsi, $x\notin\overline F$ donc il existe $\eta>0$ tel que, en notant $J=\,]x-\eta,x+\eta[\,\cap\, I$, on a $J\cap F=\emptyset$.
En particulier,$f(J)$ ne contient ni $f(x)-\varepsilon$, ni $f(x)+\epsilon$.
Mais $x\in J$ et $f$ vérifie le TVI donc $f(J)$ est un intervalle contenant $f(x)$.
Donc $f(J)\subset \,]f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon[$.
En conclusion, pour tout $\varepsilon>0$, on a trouvé $\eta>0$ tel que pour tout $y\in I$, si $|y-x|<\eta$, alors $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$, i.e. $f$ est continue en $x$.