Inégalité intégrale

etanche · September 2020

Bonjour

$E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^1$ de $[0;1]$ dans $R$ avec $f(1)=0$ et $f$ non identiquement nulle
Trouver le minimum de $$
\frac{\int_{0}^{1}x^2f'^2(x)dx}{\int_{0}^{1}x^2f^2(x)dx}
$$ quand $f$ décrit $E$.
Merci.

Chalk · September 2020

Quel sens donner à la fraction quand le dénominateur s'annule ? J'imagine que c'est un oubli mais que l'ensemble E doit aussi exclure ce cas ?

etanche · September 2020

@skyffer3 oui modification effectué

bisam · September 2020

Es-tu sûr que c'est un minimum ?
Je modifie légèrement les notations. Je note $E=\{f\in C^1([0,1],\R),f(1)=0\}$ et $:\$ [\Phi:f\in E\setminus \{\tilde{0}\} \mapsto \frac{\int_{0}^{1}x^2f'^2(x)dx}{\int_{0}^{1}x^2f^2(x)dx}\]
Pour l'instant, j'ai réussi à montrer que $\displaystyle \forall f\in E\setminus\{\tilde{0}\}, \Phi(f)\geq \frac{9}{4}$. Je n'arrive pas à déterminer si c'est la borne inférieure, et encore moins si c'est atteint.

etanche · September 2020

@bisam pareil que toi j'ai obtenu 9/4 je me pose les mêmes questions est-ce la borne inférieure ? atteint ?

Fin de partie · September 2020

C'est un des problèmes du dernier American mathematical monthly (volume 127 number 08)

side · September 2020

supp

etanche · September 2020

side a écrit:

On cherche $f$ solution de $(x^2f')'+mf=0, f(1)=0$ en espérant voir apparaître une contrainte portant sur $m$.

Cette équation différentielle est du type Euler qui se résout bien
$x^2f''(x)+2xf'(x)+mf(x)=0$ qui se ramène à une équation différentielle linéaire avec $x=e^t$

etanche · September 2020

@side $f$ n’est pas deux fois dérivables.

etanche · September 2020

Pour $m=9/4$, l ‘équation différentielle a pour solution $ f(x)=(A\sin(\sqrt{2}\ln(x)))/\sqrt{x} + B\cos(\sqrt{2}\ln(x)))/\sqrt{x})$
$f(1)=0$ donc $B=0$ du coup $f$ n’a pas de limite en $0$ contradiction.

Mais comment faire si on ne suppose pas $f$ deux fois dérivable ?
Merci.

side · September 2020

supp

bisam · September 2020

J'ai bêtement utilisé une intégration par parties et l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour aboutir à mon $9/4$.

Si $f\in E$ alors
\[\begin{align}\int_0^1x^2f(x)^2dx&=\left[\frac{x^3}{3}f(x)^2\right]_0^1-\int_0^1\frac{x^3}{3}\times 2f'(x)f(x)dx\\
&=0-\int_0^1\left(\frac{2x^2}{3}f'(x)\right)\times(xf(x))dx\\
&\leq \sqrt{\int_0^1\frac{4}{9}x^4f'(x)^2dx}\sqrt{\int_0^1 x^2f(x)^2dx}
\end{align}

\] Si de plus $f\neq \tilde{0}$, on en déduit que \[\int_0^1x^2f(x)^2dx\leq \int_0^1\frac{4}{9}x^4f'(x)^2dx \leq \frac{4}{9}\int_0^1x^2f'(x)^2dx.
\] Par conséquent, $\Phi(f)\geq \frac{9}{4}$.

etanche · September 2020

Est ce que 9/4 est atteint ? Est-ce la borne inférieure?

totem · September 2020

@bisam : le terme de l'IPP :
$$-\int_0^1\left(\frac{2x^2}{3}f'(x)\right)\times(xf(x))dx

$$ est nécessairement positif à cause du membre de gauche je suppose ?

Fin de partie · September 2020

Sauf erreur,
Il suffit de trouver une suite de fonctions $(f_n)$ telle que:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\int_{0}^{1}x^2{{f_n}^\prime}^2(x)dx}{\int_{0}^{1}x^2{f_n}^2(x)dx}=\frac{9}{4}$

Est-ce qu'une suite de polynômes du type $\displaystyle p_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k(x-1)^k$ ne ferait-elle pas l'affaire?

etanche · September 2020

@Fin de partie qu’est ce tu choisis pour les coefficients $a_{k,n}$?

Fin de partie · September 2020

Etanche:

J'avais pensé à $\displaystyle p_n(x)=\sum_{k=1}^n (1-x)^k$. J'ai fait quelques calculs qui me donnent l'impression que la suite correspondante converge vers une valeur pas trop éloignée de $9/4$ mais j'ai été limité techniquement pour explorer plus avant cette piste numériquement.

PS:
Ce n'est pas la bonne suite. J'avais oublié un carré. :-D

bisam · September 2020

@totem : La réponse est dans ta question...

A part ça, tous les essais numériques que j'ai pu faire sur ma calculette me laissent plutôt penser que le minimum serait non pas 9/4 mais 10, tout simplement atteint en $f:x\mapsto 1-x$.

Je suis preneur de tout contre-exemple à cette conjecture, bien évidemment.

Il serait sans doute temps de faire un peu d'algèbre linéaire, voire bilinéaire, pour démêler tout cela.

Calli · September 2020

Bonjour,$\def\d{\,{\rm d}}$ $\def\i{\int_0^1}$
Voici une piste qui n'aboutit pas. Je la poste quand même au cas où ça aiderait d'autres à trouver des idées.

Soit $f\in E$. Posons $g:x\mapsto \frac{f(x)}{1-x}$. Alors $$\i x^2 f(x)^2 \d x = \i (x^2-2x^3+x^4) g(x)^2 \d x$$
et, comme $f'(x) = (1-x) g'(x) -g(x)$, $$
\begin{eqnarray*}
\i x^2 f'(x)^2 \d x &=& \i (x^2(1-x)^2 g'(x)^2 - 2x^2(1-x) g(x)g'(x)+x^2g(x)^2)\d x \\
&=& \i x^2(1-x)^2 g'(x)^2 \d x - \i x^2(1-x) \frac{{\rm d}(g^2)}{{\rm d}x} \d x+ \i x^2g(x)^2\d x \\
&=& \i x^2(1-x)^2 g'(x)^2 \d x - \i (2x-3x^2) g(x)^2 \d x+ \i x^2g(x)^2\d x \\
&\geqslant& \i (-2x+4x^2) g(x)^2 \d x.
\end{eqnarray*}$$

Mettons qu'il existe $k\in\Bbb N$ tel que $g^2(x) = x^k$. Alors on a :$$
\left\{ \begin{array}{ll}
\i x^2 f(x)^2 \d x = \frac1{k+3} - \frac2{k+4} +\frac1{k+5} & := F(k)\\
\i x^2 f'(x)^2 \d x = - \frac2{k+2} +\frac4{k+3} & :=G(k)
\end{array}\right.$$
On calcule (reformulation : mon ordinateur calcule) que $\dfrac{G(Y)}{F(Y)} = \dfrac{Y^{3} + 10 Y^{2} + 29Y + 20}{Y + 2}$ puis que $\left(\dfrac{G}{F}\right) '\!(Y) = \dfrac{ 2 Y^{3} + 16 Y^{2} + 40 Y+ 38}{(Y+2)^2}$. Donc : $\forall k\in\Bbb N,$ $$
\frac{ \i (-2x+4x^2) x^k \d x}{\i (x^2-2x^3+x^4) x^k \d x} = \frac{G(k)}{F(k)} \geqslant \frac{G(0)}{F(0)} = 10$$ avec égalité ssi $k=0$. Donc $$
\i (-2x+4x^2) x^k \d x \geqslant 10 \i (x^2-2x^3+x^4) x^k \d x.$$

Retour au cas général. $g^2$ est prolongeable par continuité sur $[0,1]$ et positive. J'aimerais bien qu'il existe une suite $P_n$ de polynômes à coefficients positifs qui converge uniformément vers $g^2$ sur $[0,1]$. Ça n'est malheureusement pas forcément le cas et c'est pour ça que je parlais d'une "piste qui n'aboutit pas". Mais quand c'est le cas, alors $$
\Phi(f) \geqslant \frac{ \i (-2x+4x^2) g(x)^2 \d x}{\i (x^2-2x^3+x^4) g(x)^2 \d x} = \lim_{n\to\infty} \frac{ \i (-2x+4x^2) P_n(x) \d x}{\i (x^2-2x^3+x^4) P_n(x) \d x} \geqslant 10.$$

bd2017 · September 2020

Bonjour

$f(x)=(1-x)+x^5(1-x)^5$ vérifie les hypothèses est donne $10-\dfrac{49060}{14910033}$

Ce qui montre que l'inf est< 10

Fin de partie · September 2020

Bd2017: je ne trouve pas la même valeur que toi.

Pour moi, c'est plus grand que $10$.

Demandez à Wolfy ce que valent:

integrate x^2*((1-x)^5-5*x*(1-x)^4-1)^2,x=0,1
integrate x^2*((1-x)+x*(1-x)^5)^2,x=0,1

Si je ne me suis pas trompé, en considérant $p_n(x)=(1-x)+x(1-x)^n$ on a une suite qui tend vers $10$.

Math Coss · September 2020

Ce n'est pas ce que Sage trouve.

sage: f(x) = (1-x)+x*(1-x)^5
sage: def I(f):
....:     N = integral(x^2*diff(f(x),x)^2,(x,0,1))
....:     D = integral(x^2*f(x)^2,(x,0,1))
....:     return N/D
....: 
sage: I(f)
64630/6447
sage: I(f)-10
160/6447

side · September 2020

supp

Fin de partie · September 2020

GP PARI donne:

f(x)={(1-x)+x*(1-x)^5};
g(x)={-6*x^5+25*x^4-40*x^3+30*x^2-10*x};
intnum(x=0,1,x^2*g(x)^2)/intnum(x=0,1,x^2*f(x)^2)
%1 = 10.02481774468745152784240732

PS:
Vous pouvez tester vous-mêmes en copiant les trois premières lignes dans https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

PS2:
Je ne savais pas comment utiliser la fonction deriv de GP PARI dans un calcul d'intégrale, voilà qui est fait:

f(x)={(1-x)+x*(1-x)^5};
intnum(x=0,1,x^2*deriv(f)(x)^2)/intnum(x=0,1,x^2*f(x)^2)
%5 = 10.02481774468745152784240732

bd2017 · September 2020

Fin de partie a écrit:

Bd2017: je ne trouve pas la même valeur que toi.
Pour moi, c'est plus grand que $10$.

Rebjr

C'est normal je me suis trompé en recopiant il manque une puissance de 5 à x. (j'ai donc corrigé).

J'avais mieux avec f(x)=(1 - x) (-1 - x + x^2) et ce qui donne le minimum m

m< 306/31<100

et c'est cohérent avec la réponse (ci dessous) $\pi^2 \approx 9.8696$ et $306/31\approx 9.87097$

LOU16 · September 2020

Bonsoir,
Soit $f \in E$ et $g$ définie par $\forall x \in [0;1],\:\:g(x) =x f(x)\:\:$. Alors $\:\:g(0)=g(1)=0. \quad xf'(x) = g'(x) -f(x). $
$\displaystyle \int _0^1 x^2f'(x)^2 \mathrm dx =\int _0^1 g'^2-\int _0^1\dfrac {2g(x)g'(x)}x \mathrm dx +\int _0^1 f^2 \overset{\mathrm {IPP}}=\int _0^1 g'^2. \quad$Ainsi:$\quad \displaystyle \dfrac {\int _0 ^1 x^2f'(x)^2\mathrm dx}{\int _0 ^1 x^2f(x)^2\mathrm dx}=\dfrac{\int _0 ^1 g'(x)^2 \mathrm dx}{\int _0 ^1 g(x)^2\mathrm dx}.$
On recherche donc le minimum de $\dfrac{\int _0 ^1 g'(x)^2 \mathrm dx}{\int _0 ^1 g(x)^2\mathrm dx}$ lorsque $g$ décrit $\mathcal F = \left\{\varphi \in \mathcal C^1(|0;1], \R) \mid \varphi \neq 0, \:\varphi(0) = \varphi(1) =0 \right\}$.
Soit $ g \in \mathcal F$ et $\widehat g$ la fonction définie sur $\R$, impaire , $2-$périodique, égale à $g$ sur $[0;1].$
La formule de Parseval s'applique à $\widehat g$ et $ \widehat { g'}$.
$\forall x \in \R, \:\: \displaystyle \widehat g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin (n\pi x), \quad \int_0^1 g^2 = \frac 12\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^2, \quad \int_0^1 g'^2 = \frac 12\sum_{n=1}^{+\infty} n^2\pi^2 a_n^2\geqslant \pi^2 \int _0 ^1 g^2.$
Cela entraîne que le minimum de $\dfrac{\int _0 ^1 f'(x)^2 \mathrm dx}{\int _0 ^1 f(x)^2\mathrm dx}$ sur $E$ est égal à $\pi^2$, est atteint lorsque $ \forall n>1,\: a_n =0, \:$ par la fonction $ f:x \mapsto \dfrac{\sin (\pi x)}x.$

Chalk · September 2020

Très joli, mais pour dériver la série de Fourier afin d'obtenir $\hat g' = \sum n\pi a_n\cos(n\pi x)$, tu as besoin a priori d'un théorème du type convergence normale de Dirichlet, dont les hypothèses ne sont pas satisfaites en 0 et 1 si je ne m'abuse.

Il me manque quelques arguments pour saisir la preuve, je n'ai plus toute la théorie des séries de Fourier en tête 8-)

etanche · September 2020

LOU16 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2099214,2100266#msg-2100266

> Bonsoir, $ \int_0^1 g'^2 \geqslant \pi^2 \int _0 ^1 g^2.$

Mais c’est l’inégalité de Wirtinger, voir la seconde version ici. https://handwiki.org/wiki/Wirtinger's_inequality_for_functions

Et il y a trois ans sur le même forum mathématiques net, y a des photos d’une preuve sans les séries de Fourier c’était un exo oral de l’X http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1354138,1354176

bisam · September 2020

Bien joué Lou16 (tu)
Mais comment ai-je pu rater Wirtinger ? :-S

LOU16 · September 2020

Bonjour,

@Skyffer
Je ne connais pas grand-chose aux séries de Fourier, et c'est sûrement la raison pour laquelle je ne comprends pas ce qui ne va pas.
Je me suis contenté d'appliquer la formule de Parseval aux fonctions $\widehat g$ et $\widehat {g'}$ continues sur $\R$, l'une impaire, l'autre paire, dont les coefficients de Fourier me paraissent liés par les relations requises:
$\displaystyle \int_{-1}^1 \widehat {g'}(x) \cos (n\pi x)\mathrm d x=2\int_0^1 g'(x) \cos (n\pi x)\mathrm d x=2n\int_0^1 g(x) \sin (n\pi x)\mathrm d x = n\int_{-1}^1 \widehat {g}(x) \sin (n\pi x)\mathrm d x.$
@ Etanche
Oui , Wirtinger, mais j'ai préféré Parseval.

etanche · September 2020

@skyffer3,bisam,Fin de partie, side,totem,Calli,bd2017,MathCoss,Lou16 merci pour vos retours
en cette période où tout est gris.

Fin de partie · September 2020

Etanche:

Tu peux t'attaquer à la série (cela ressemble à une série harmonique) qui est proposée dans le même numéro de l'AMM. C'est nettement plus facile. ;-)

En fait, je trouve intéressant tous les problèmes proposés dans cette livraison de cette revue même si je sais résoudre qu'un seul des problèmes y figurant, à cette heure. :-D

Calli · September 2020

Histoire que j'apprenne au moins quelque chose de ma vaine tentative, je reviens sur :

Calli a écrit:

$g^2$ est prolongeable par continuité sur $[0,1]$ et positive. J'aimerais bien qu'il existe une suite $P_n$ de polynômes à coefficients positifs qui converge uniformément vers $g^2$ sur $[0,1]$. Ça n'est malheureusement pas forcément le cas.

Sait-on caractériser les fonctions de ${\cal C}([0,1],\Bbb R)$ qui sont limite uniforme d'une suite de polynômes à coefficients positifs ? Une condition nécessaire est que la fonction qu'on veut approcher soit positive, croissante et convexe. Et une condition suffisante est qu'elle soit ${\cal C}^\infty$ à dérivées toutes positives. Connait-on une condition nécessaire et suffisante ?

bisam · September 2020

Oui. La condition nécessaire et suffisante est d'être développable en série entière au voisinage de 0, de rayon supérieur ou égal à 1, et à coefficients tous positifs.
Il y a eu plusieurs fils à ce sujet.

Chalk · September 2020

Merci LOU, mes souvenirs remontent à loin mais j'ai compris, il n'y a pas besoin d'hypothèses en plus pour faire le lien entre coefficients de Fourier de g et de g'.