Accélération de convergence

Qu'est-ce que vous en dites vous n'est pas une question très précise, je vais donc peut-être répondre à côté.

Si mes souvenirs sont bons les procédés de Richardson et Aitken sont très simples. On suppose que la suite qu'on étudie se comporte d'une certaine manière, par exemple qu'elle est arithmético-géométrique, ceci permet de trouver la limite à l'aide de 3 (ou est-ce 4 ?) termes consécutifs en appliquant une certaine transformation sur ces 3 termes. Notons $T$ cette transformation et soit $(u_n)_n$ une suite dont on veut déterminer la limite, si $(u_n)_n$ est presque arithmétique (dans un sens à préciser) alors $T(u_n)$ converge vers la même limite mais plus rapidement.

Je ne sais pas si ces méthodes sont vraiment utiles en pratique, cela dépend pas mal de la suite considérée. En toute généralité (et même en supposant que $(u_n)_n$ soit presque arithmético-géométrique) on n'obtient pas mieux que $T(u_n)-l=o_\infty (u_n-l)$. Sachant qu'on avait déjà une convergence géométrique si on passe d'une erreur de la forme $\alpha^n$ à une erreur de la forme $\alpha^n/\ln(n)$ autant dire qu'on n'a rien gagné. Mais il arrive qu'on obtienne de vraies accélérations. Toujours si mes souvenirs sont bons, si $|u_n-l| = c \alpha^n + d \beta ^n + o_\infty(\beta^n)$, avec $1>\alpha>\beta$ alors le procédé de Richardson transforme $|u_n-l| \sim c\alpha^n$ en $|T(u_n)-l|\sim b \beta ^n$.

Un autre inconvénient de ces méthodes est qu'elles ne marchent pas sur les suites à convergence lente... Dommage puisque c'est exactement pour ces suites qu'on aimerait améliorer la convergence. La méthode de Richardson et celle d'Aitken ne marchent pas pour estimer $\sum 1/n^2$ par exemple...

La transformation d'Euler je ne connais pas du tout. En faisant des recherches sur l'accélération de convergence je me souviens aussi être tombé sur les approximants de Padé mais je n'avais pas creusé le sujet.

L'accélération d'Euler est un procédé de sommation de séries qui consiste à remplacer le terme général d'une série par une moyenne de Césaro (mais avec des poids non égaux) des termes précédents, ce qui fait qu'elle ne peut espérer accélérer la convergence de la série que dans un cas non monotone des sommes partielles, typiquement pour des séries alternées. Appliquée à la série $\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}=-\ln(2)$, il est remarquable qu'elle donne $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n 2^{n-1}}=\ln(1/2)$.

On peut la voir via des transformations formelles sur des opérateurs, justifiées rigoureusement en introduisant un paramètre (cf III.D de l'épreuve 2 de l'interne de 2016), mais j'apprécie beaucoup également le point de vue moyenne de Césaro que j'avais trouvé dans un exercice du cours de Mathématiques de Jean Bass (peut-être le tome 1) ; ce point de vue transparaît d'ailleurs dans la question 24 du même sujet.

@mini calli : oui il s'agit de cette variante, avec les coefficients binomiaux. Sinon tu as raison je me suis planté lamentablement dans les signes...