Ascoli

Salut à tous,
je ne comprends pas une majoration.

Soit (fn) une suite d'applications L-lip, R^n-->R^n, avec norme(fn(0)) = racine(2)
On doit mq qu'il existe une sous-suite cv de (fn) par Ascoli.

Soit H (x) = { fn(x) | n appartient à N(entier naturel) }. Alors par hypothèse, H (0) inclut B(0,racine(2)) fermé. Donc adhérence de H(0) est un fermé de B(0,racine(2)) fermé qui est compact (nous somme dans R^n).
Donc adhérence de H(0) est aussi compact, d’où H(0) relativement compact.

Maintenant nous avons norme(fn(x)-fn(0)) <= L x norme(x_0) (Et je ne comprend pas pk pourquoi la majoration suivante)
Donc : norme(fn(x)) <= L x norme(x) + racine(2)
on sait que norme(fn(x) - fn(0))= norme(fn(x)-racine(2)) <= L x norme(x)
on peut aussi dire : norme(fn(x)-fn(0)) <= norme(fn(x)) + racine(2).

Je n'arrive pas à comprendre comment on passe de :
norme(fn(x) - fn(0))= norme(fn(x)- racine(2)) <= L x norme(x) à norme(fn(x)) <= L x norme(x) + racine(2)
Donc pour x fixé, fn(x) appartient à B(0,L x norme(x) +racine (2) ) fermé,
ce qui implique que H (x) est relativement compact.

On prend ensuite BR = B(0,R) fermé un compact de R^n et on restreint l'ensemble des fn à BR puis on utilise Ascoli.