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Comportement fonction

EddyEddy
dans Analyse
Je ne comprends pas comment la fonction se comporte dans R :
f(x)=sin(1/x)/cos((pi/2)-1/x)
La dérivé n'est-elle pas toujours nulle quel que soit x ?
J'ai regardé le graphique sur R et c'est vraiment bizarre. Je pensais que cos (90-x)=sin(x) en degrés et donc que la fonction serait continu et égale à 1.
Qu'en pensez-vous ?
Merci de m'éclairer ^^

Réponses

  • ChaurienChaurien
    C'est bien $f(x)=\frac {\sin \frac1x}{\cos(\frac{\pi}2-{\frac 1x})}$ ? C'est une blague ?
  • Math CossMath Coss
    Non Chaurien, je comprends qu'on puisse être troublé quelques instants. Voici les graphes que me donne Sage sur $[-3,3]$ et sur $[5,6]$.

    Sur le premier, on se dit que l'artefact est dû à des calculs (mal) approchés au voisinage de $0$. Que se passe-t-il donc dans le deuxième ?109996
    109998
  • gerard0gerard0
    Oui,

    c'est l'ennui du calcul approché ... et comme les formules de trigo ne peuvent pas être implémentées dans les logiciels formels (sous peine de boucles infinies), Sage ne simplifie pas.

    Bizarrement, depuis mon année de première, je ne supporte pas bien de laisser un $\cos(\frac{\pi}2 - ..)$ comme ça.

    Cordialement.

    Attention : La dérivée n'est égale à 0 que là où la fonction est définie, où l'écriture donnée a un sens.
  • ChaurienChaurien
    Ah bon les maths en 2020 c'est l'art d'utiliser tel ou tel logiciel ?
  • DomDom
    Eddy a pourtant précisé qu’il savait simplifier cela en $x\mapsto 1$ sur le domaine.

    C’est plutôt louable de s’interroger sur le rendu d’un traceur de courbe, qui plus est, perfectionné.
  • Math CossMath Coss
    Je suis bien d'accord. On attend donc l'interprétation d'Eddy des dessins qu'il obtient (ou des miens).
  • gerard0gerard0
    Effectivement,

    c'est le moment de réfléchir à ce que fait vraiment le logiciel traceur de courbe. Ou même la calculette ..
    Autrefois, le temps de cours en seconde comportait des "modules" en demi-classes. Où nous (mes collègues et moi) faisions réfléchir sur l'usage des calculettes, la différence entre preuve et certitude intuitive, etc.
    Bien auparavant, le calcul approché à la main, dès le collège, et l'usage de tables de valeurs faisait qu'un lycéen de seconde savait la différence entre calcul exact et approché. C'est maintenant le travail des profs de maths (et physique, et mécanique, ..) de faire ce débroussaillage qui justifie de ne pas se contenter de taper sur des touches.

    Cordialement.
  • DomDom
    Je viens d’essayer : $x\mapsto x^{10000}-x^{10000}$.
    Moins gribouillis (« l’aiguille » ne s’affole pas) mais ça pourra interloquer et convaincre beaucoup de monde.
  • EddyEddy
    Pour consoler certains, cette question n'est pas une question de cours ou quoi que ce soit. Seulement une curiosité personnelle. J'essayais de concevoir des fonctions non définissable en x=0 ou autre, de tel façon d'avoir 0/0. Tout simplement, pour comprendre pourquoi parfois, c'est égale à 1, parfois à une autre constante. Je trouvais insensé de rendre cela indéfinissable, quand 0 est 0 et non un faux 0. Le problème est quand on fait tendre x vers une valeur, ils ne tendent pas vers cette valeur de la même manière et cela les rends inconsistants. L’Hôpital est une bonne manière de s'y retrouver, car elle fait intervenir ce concept de <<Tendre vers cette valeur>> de façon beaucoup plus sensé. Mais elle a sa limite quand x tend de manière complètement <<non dérivable>>.

    Merci!
  • Math CossMath Coss
    Avant de partir, saurais-tu expliquer le deuxième dessin ?
  • EddyEddy
    Oui et non :

    Tout est question à partir du voisinage de 1 d'approximation. Comment le logiciel sage approxime cos et sin est propre au programmeur. De plus la mémoire alloué pour stocker la variable au numérateur et au dénominateur peut lors de la division créer des inconsistances sur des delta x, où 1 sera différent de 1 haha. Si par exemple, tu alloues plus de mémoire au dénominateur et au numérateur qu'au résultat, tu n'auras pas ces problèmes graphiques.
  • Math CossMath Coss
    OK, il ne s'agit pas d'expliquer le détail des oscillations, ce que je ne saurais pas faire non plus, mais pourquoi un ordinateur peut produire de telles oscillations. C'est juste que l'amplitude de ces oscillations est en réalité très faible et ne paraît grande que parce qu'on ne connaît pas l'échelle sur les ordonnées.

    Voici un autre graphique qui montre que l'ordinateur calcule très convenablement, avec la fonction mystérieuse (plus tant que ça) en bleu et la constante $0{,}999\,99$ en orange. Les oscillations ont disparu. 
    sage: plot(sin(1/x)/cos(pi.n()/2-1/x),(x,5,6))+plot(.99999,(x,5,6),color="orange")
    110058
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