Manipulations algébriques
Bonjour,
je ne comprends pas le passage de la 1ère ligne à la 2ème, quelqu'un peut m'expliquer ?
\begin{align}
f_n(t) &= \sin \Big( \sqrt { t + 4 (n\pi)^2 } \Big)\\
&= \sin \Big(2n\pi \sqrt { 1 + \frac t{ 4 n^2 \pi^2}}\Big)
\end{align} On trouve ensuite que c'est égal à $\sin( \frac t{4n\pi} )+ o(\frac1n )$ avec le développement limité en racine de $1+ x$.
Donc on voit que la limite tend vers $0$, donc les $f_n$ convergent simplement vers $0$ mais en quoi ça prouve que c'est une suite équicontinue qui converge vers $0$ ?
Converge vers $0$ ok, mais en quoi équicontinue ?
je ne comprends pas le passage de la 1ère ligne à la 2ème, quelqu'un peut m'expliquer ?
\begin{align}
f_n(t) &= \sin \Big( \sqrt { t + 4 (n\pi)^2 } \Big)\\
&= \sin \Big(2n\pi \sqrt { 1 + \frac t{ 4 n^2 \pi^2}}\Big)
\end{align} On trouve ensuite que c'est égal à $\sin( \frac t{4n\pi} )+ o(\frac1n )$ avec le développement limité en racine de $1+ x$.
Donc on voit que la limite tend vers $0$, donc les $f_n$ convergent simplement vers $0$ mais en quoi ça prouve que c'est une suite équicontinue qui converge vers $0$ ?
Converge vers $0$ ok, mais en quoi équicontinue ?
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Réponses
Ton expression n'est pas bien parenthésée.
Il suffit d'écrire (je te laisses quantifier sur \( n \) et sur \( t \),
\[ \sqrt { t + 4 (n\pi)^2 } = \sqrt { (2n\pi)^2\left( 1 + \dfrac{t}{(2n\pi)^2}\right)}, \]
et de "sortir" le facteur positif \( 2n\pi \) de la racine carrée.
Il ne reste plus qu'à faire manger le tout par le sinus.
e.v.
Et pour l'équicontinuité j'ai juste mal lu la suite cela ne disait en rien que c'est une suite équicontinue j'ai mal interprété
xn=sqrt(npi) et yn=sqrt(npi+pi/2), comment passe-t-on de :
sqrt(npi) - sqrt(npi+pi/2)
à
= (npi - npi- pi/2) / (sqrt(npi) + sqrt(npi + pi/2) ?
[Restons dans ton fil où tu utilises des transformations algébriques. AD]
En multipliant et en divisant par la quantité conjuguée.
J’y vois plus clair. Mot clé « expression conjuguée ».
Pour tous les $a$ et $b$ valides :
$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$