Développement limité, suite
Bonjour
Je ne comprends pas comment obtenir le développement à l'ordre 3 à plus de $u_{n+1}=\sin \left(u_{n}\right)$, $u_{0} \in\,] 0, \frac{\pi}{2}]$.
Je sais que cette suite tend vers 0 car l'intervalle cité est stable par la fonction $\sin$ que $\sin x<x$ donc que $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Par utilisation du lemme de Cesàro j'ai réussi à trouver un équivalent simple $\frac{1}{u_{n}^{2}} \sim \frac{n}{3}$ autrement dit $u_{n} \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$
Je n'arrive plus à avancer...
Merci.
Je ne comprends pas comment obtenir le développement à l'ordre 3 à plus de $u_{n+1}=\sin \left(u_{n}\right)$, $u_{0} \in\,] 0, \frac{\pi}{2}]$.
Je sais que cette suite tend vers 0 car l'intervalle cité est stable par la fonction $\sin$ que $\sin x<x$ donc que $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Par utilisation du lemme de Cesàro j'ai réussi à trouver un équivalent simple $\frac{1}{u_{n}^{2}} \sim \frac{n}{3}$ autrement dit $u_{n} \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$
Je n'arrive plus à avancer...
Merci.
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Réponses
$v_{n}=\frac{1}{3}+o(1)$ Par suite j 'applique le lemme de Césaro $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} v_{k}==\frac{1}{n}\left(\frac{1}{u_{n}^{2}}-\frac{1}{u_{0}^{2}}\right)$ pour obtenir l'équivalent .
ce qui me pose problème dans la suite que tu me donnes c'est le $v_{n-1}$ ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ernesto_Cesàro
Bis repetita placent
Pour avoir un développement asymptotique de $u_{n+1}=f(u_n)$, on cherche l'exposant $\alpha$ tel que : $\lim_{x \rightarrow 0}(f(x)^{\alpha}-x^{\alpha})=\ell \neq 0$.
Pour $f(x)=\sin x$ c'est $\alpha=-2$.
Pour $f(x)=\ln(1+x)$ c'est $\alpha=-1$.
Le développement limité de $f(x)^{\alpha}-x^{\alpha}$, poussé suffisamment, permet d'obtenir, terme après terme, le développement asymptotique de $u_n$, au moyen du théorème de sommation des relations de comparaison, qui est une généralisation de Cesàro.
Bon courage.
Fr. Ch.
$u_{n}=\sqrt{\frac{3}{n}}(1-\frac{3}{10}\cdot \frac{\ln n}{n}-\frac{C}{2n}+%
\frac{27}{200}\cdot \frac{(\ln n)^{2}}{n^{2}}+o(\frac{(\ln n)^{2}}{n^{2}}))$,
où $C$ est une constante réelle qui dépend de $u_0$.
$\bullet $ Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par $u_{0}\in ]0,\pi \lbrack $ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\sin u_{n}$. La suite $u_n$ est positive, décroissante, de limite nulle.
$\bullet $ On cherche $\alpha \in \mathbb{R}^{\ast }$ tel que : $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}((\sin x)^{\alpha }-x^{\alpha })=\ell \in \mathbb{R}^{\ast }$.
Comme : $(\sin x)^{\alpha }-x^{\alpha }\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\sim }-\frac{\alpha }{6}x^{\alpha +2}$, on trouve : $\alpha =-2$ et $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}((\sin x)^{-2}-x^{-2})=\frac{1}{3}$, ce qui implique : $\lim_{n\rightarrow +\infty }(\frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\frac{1}{u_{n}^{2}})=\frac{1}{3}$.
D'après Cesàro, ou bien d'après la sommation des relations de comparaison, il s'ensuit : $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{nu_{n}^{2}}=\frac{1}{3}$, ce qui implique clairement :
$u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\sqrt{\frac{3}{n}}$. Tout ça on le sait.
$\bullet $ Pour aller plus loin, on utilise le développement limité quand $x\rightarrow 0$ : $(\sin x)^{-2}-x^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{x^{2}}{15}+o(x^{2})$.
On en déduit quand $n\rightarrow +\infty $ : $\frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}u_{n}^{2}+o(u_{n}^{2})$, et comme $u_{n}\sim \sqrt{\frac{3}{n}}$, ceci se traduit par :
$\frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5n}+o(\frac{1}{n})$.
Et par sommation des relations de comparaison : $\frac{1}{u_{n}^{2}}=\frac{1}{3}n+\frac{1}{5}\ln n+o(\ln n)$.
Avec un peu de calcul, on en conclut, quand $n\rightarrow +\infty $ : $u_{n}=\sqrt{\frac{3}{n}}(1-\frac{3}{10}\cdot \frac{\ln n}{n}+o(\frac{\ln n}{n}))$.
$\bullet $ Pour continuer, il faudra pousser le développement limité quand $x\rightarrow 0$ : $(\sin x)^{-2}-x^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{x^{2}}{15}+\frac{2}{189}x^{4}+o(x^{4})$. Si l'on a la flemme, on peut noter que les coefficients se déduisent par dérivation de ceux de $\cot x - \frac 1x$, dont l'expression est classique en fonction des nombres de Bernoulli, mais c'est anecdotique. J'y reviendrai tantôt.
$\bullet $ Je n'aime pas l'expression « développement à l'ordre 3 » de la question initiale, qui semble suggérer que $u_n$ admettrait un développement limité polynomial, autrement dit dans l'échelle des $n^p$, $p \in \mathbb N$, quand $n\rightarrow +\infty $, ce qui n'est pas le cas, comme on le voit d'après le résultat. La bonne formulation consiste à demander un développement asymptotique dans l'échelle des $n^\alpha (\ln n)^ \beta$, $\alpha \in \mathbb R$, $ \beta \in \mathbb R$, à une précision prescrite.
$\bullet $ Des camarades forumeurs pourraient rechercher les fils de discussion qui ont déjà été consacrés à cette question. On a l'impression de radoter. Vous direz, c'est de mon âge...
Bonne journée.
Fr. Ch.
28/09/2020
.
je ne comprends pas d'où vient le terme :$\frac{1}{5}\ln n$ ? moi j'ai juste $1/5$... pas de $\ln$ :-S
Je subodore un équivalent de la série harmonique là-dessous mais je ne vois pas non plus d'où il vient...
Bonne journée automnale (pas de réchauffement).
Fr. Ch.
On aurait pu écrire aussi $ \frac{1}{5}\ln n+ \frac{\gamma}{5} + o(1)$ :-D
Oui mais la somme des $o(\frac{1}{n})$ c'est $o(\ln n)$, c'est ça la sommation des relations de comparaison.
C'est donc la précision que l'on peut espérer.
Ton $ \frac{\gamma}{5} + o(1) $ c'est un $o(\ln n)$, on ne peut faire mieux.
$$
\frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\frac{1}{u_{n}^{2}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5n}+o(\frac{1}{n})
$$ donc $$
\sum_{k=1}^n ( \frac{1}{u_{k+1}^{2}}-\frac{1}{u_{k}^{2}} ) =\frac{1}{3}n+\frac{1}{5}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} +o(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n})
$$ donc $$
\frac{1}{u_{n}^{2}}=\frac{1}{3}n+\frac{1}{5}\ln n+o(\ln n).
$$ Comme ça ??
On en déduit, quand $n\rightarrow +\infty $ : $u_{n+1}^{-2}-u_{n}^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}u_{n}^{2}+%
\frac{2}{189}u_{n}^{4}+o(u_{n}^{4})$.
$\bullet $ Le développement asymptotique précédemment trouvé conduit à : $u_{n}^{2}=\frac{3}{n}-\frac{9}{5}\cdot \frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{\ln n}{%
n^{2}})$, et $u_{n}^{4}=o(\frac{\ln n}{n^{2}})$.
En conséquence : $u_{n+1}^{-2}-u_{n}^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5n}-\frac{3}{%
25}\cdot \frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{\ln n}{n^{2}})$.
Le coefficient $\frac{2}{189}$ n'est donc d'aucune utilité, il suffisait de savoir qu'il existait...
$\bullet $ Nouveauté : on voit apparaître $\frac{\ln n}{n^{2}}$ qui est le terme général d'une série convergente, en plus des séries divergentes de termes généraux $\frac 13$ et $\frac 1{5n} $ que nous avions précédemment. Il faut désormais appliquer le théorème de sommation, non plus à la somme, mais au reste de cette dernière série. On écrit :
$\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}(u_{k+1}^{-2}-u_{k}^{-2})=%
\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\underset{k=1}{%
\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{k}-\frac{3}{25}\underset{k=1}{\overset{+\infty
}{\sum }}(\frac{\ln k}{k^{2}}+o(\frac{\ln k}{k^{2}}))+\frac{3}{25}\underset{%
k=n}{\overset{+\infty }{\sum }}(\frac{\ln k}{k^{2}}+o(\frac{\ln k}{k^{2}}))$.
$\bullet $ On utilise les assertions : $\displaystyle H_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k}=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ et $ \displaystyle \underset{k=n}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{\ln k}{k^{2}}\sim
\int_{n}^{+\infty }\frac{\ln t}{t^{2}}dt\sim \frac{\ln n}{n}$, et il vient :
$u_{n}^{-2}=\frac{1}{3}n+\frac{1}{5}\ln n+A+\frac{3}{25}\cdot \frac{\ln n}{n}%
+o(\frac{\ln n}{n})$, où $A$ est une constante, soit :
$u_{n}=\sqrt{\frac{3}{n}}(1+\frac{3}{5}\cdot \frac{\ln n}{n}+\frac{3A}{n}+%
\frac{9}{25}\cdot \frac{\ln n}{n^{2}}+o(\frac{\ln n}{n^{2}}))^{-\frac{1}{2}}$.
Et les forumeurs intéressés termineront bien tout seuls.
Bonne après-midi, le temps est à la sieste.
Fr. Ch.
Merci Chaurien pour tes explications. J'essaie de comprendre à mon faible niveau, en fait les $u^{4}$ et $u^{5}$ sont dans $o\Big(\dfrac{\ln (n)}{n^{2}}\Big)$.
$\dfrac{\ln ^{2}(n)}{n^{2}}$ sont des $o\Big(\dfrac{\ln (n)}{n}\Big)$.
On ne garde pas les termes qui tendent rapidement vers $ 0$ que le $o$
$-\frac{3}{25} \sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{\ln k}{k^{2}}+o\left(\frac{\ln k}{k^{2}}\right)\right)+\frac{3}{25} \sum_{k=n}^{+\infty}\left(\frac{\ln k}{k^{2}}+o\left(\frac{\ln k}{k^{2}}\right)\right)$ Je ne comprends pas cette ligne ?
Cherchant un développement limité polynomial en petit $o(...)$, je n'aime pas trop y mêler un grand $O(...)$. On pouvait quand même se passer du calcul effectif du dernier coefficient de $(\sin x)^{-2}-x^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{x^{2}}{15}+\frac{2}{189}x^{4}+o(x^{4})$.
La fonction $g:x \mapsto (\sin x)^{-2}-x^{-2}$, continûment prolongée en $0$, est définie sur $]-\pi,\pi[$ et paire, et elle admet en $0$ un développement limité polynomial à tout ordre. En raison de la parité, ce développement limité à la précision $o(x^4)$ est de la forme : $(\sin x)^{-2}-x^{-2}=\frac{1}{3}+\frac{x^{2}}{15}+a x^{4}+o(x^{4})$,
et comme je l'ai observé dans mon précédent message, ceci suffit pour notre calcul.
On peut même affirmer que cette fonction $g$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-\pi,\pi[$, et même développable en série entière autour de $0$. Les coefficients de son développement limité en $0$ sont ceux de son développement en série entière, qui s'expriment classiquement en fonction des nombres de Bernoulli, comme j'ai dit précédemment. Mais ceci est superflu pour ce que nous cherchons ici.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
La référence complète du problème actuel est : volume I, partie I, chapitre 4, problème 173, p. 38, solution p. 217. Il ne demande que l'équivalent de $u_n$, et donne une solution un peu tarabiscotée.
Notons que le livre n'utilise pas la notation de l'équivalent $\sim$, due à Landau sauf erreur, qui était peut-être trop récente en 1925.
Le problème suivant, 174, généralise à l'équivalent d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ en fonction du développement limité de la fonction $f$ en $0$, toujours sans $\sim$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
$~~~~~~~~~~~~$ SOMMATION DES RELATIONS DE COMPARAISON
$\bullet $ Soit une suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ à termes réels positifs et une suite $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ à termes (réels ou) complexes.
...................................................................................................................................................................
1. $\bullet $ On suppose que $v_{n}=o(u_{n})$ quand $n\rightarrow +\infty $.
$\bullet $ Si la série de terme général $u_{n}$ est convergente, alors la série de terme général $v_{n}$ est absolument convergente,
et $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}v_{k}=o(\overset{%
+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k})$ quand $n\rightarrow +\infty $.
$\bullet $ Si la série de terme général $u_{n}$ est divergente, alors : $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}v_{k}=o(\overset{n}{\underset{%
k=0}{\sum }}u_{k})$ quand $n\rightarrow +\infty $.
..........................................................................................................................................
2. $\bullet $ On suppose que $v_{n}\sim u_{n}$ quand $n\rightarrow
+\infty $.
$\bullet $ Si la série de terme général $u_{n}$ est convergente, alors la série de terme général $v_{n}$ est absolument convergente,
et $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}v_{k}\sim
\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ quand $n\rightarrow
+\infty $.
$\bullet $ Si la série de terme général $u_{n}$ est divergente, alors la série de terme général $v_{n}$ est divergente, et $ \displaystyle \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}v_{k}\sim \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }%
}u_{k}$ quand $n\rightarrow +\infty $.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
01/10/2020
On considère une fonction $f$ à valeurs réelles, continue sur un intervalle $I=[0,a]$, $a>0$, ou $I=[0,a[$, $a>0$, ou $I=[0,+\infty[$. On suppose que pour $x \in I ~\backslash \{0\}$, on a : $0<f(x)<x$. On peut alors définir une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ par $u_0 \in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Cette suite est positive et décroissante et a pour limite $0$.
Supposons de plus que la fonction $f$ admet quand $x \rightarrow 0^+$ un développement limité $f(x)=x-cx^p+o(x^p)$, avec $c \in \mathbb R$, $p \in \mathbb R$, $c>0$, $p>1$. On dit que la fonction $f$ est tangente inférieurement à l'identité.
Comme j'ai dit plus haut, on cherche $ \alpha \in \mathbb R^*$ tel que $f(x)^\alpha -x ^ \alpha \rightarrow \ell \neq 0$ quand $x \rightarrow 0^+$.
On a : $f(x)^\alpha -x ^ \alpha \sim -\alpha c x^{p+ \alpha-1}$. Une seule valeur de $\alpha$ convient, c'est $\alpha =1-p$, qui donne : $f(x)^{1-p} -x ^{1-p} \rightarrow (p-1)c$ quand $x \rightarrow 0^+$.
Il en résulte : $u_{n+1}^{1-p} -u_n ^{1-p} \rightarrow (p-1)c$ quand $n \rightarrow +\infty$.
Le théorème de Cesàro, ou bien la sommation des relations de comparaison, conduit à : $u_n \sim ((p-1)c)^{- \frac 1{p-1}}n^{- \frac 1{p-1}}$ quand $n \rightarrow +\infty$.
Dans l'exemple $f(x)=\sin x$, $I=[0, \pi[$, on a $c=\frac 16$, $p=3$, et l'on retrouve bien $u_n \sim 3^{\frac 12}n^{- \frac 12}$.
Sans vouloir remettre en cause le génie indubitable de Pólya-Szegö, force est d'observer que la méthode qu'ils exposent dans leur problème 174 est beaucoup plus laborieuse que celle-ci, et avec des hypothèses superflues : on a progressé depuis 1925...
Les hypothèses sur la fonction $f$ sont plutôt réduites et suffisent pour obtenir la solution. Le développement asymptotique de $u_n$ quand $n \rightarrow +\infty$ ne dépend que du développement asymptotique de $f(x)$ quand $x \rightarrow 0$ et non d'autres particularités de la fonction $f$.
Ajoutons que rien n'est à supposer sur une monotonie éventuelle de la fonction $f$ sur tel ou tel sous-intervalle de $I$. Sous les hypothèses données ici, cette fonction $f$ n'est même pas nécessairement croissante sur aucun intervalle $[0,\delta] \subset I$, ceci n'empêche pas la conclusion.
Bonne journée.
Fr. Ch.
02/10/2020