Fonction en escalier et semi-norme

Soit $f : [a ; b] \to \mathbb{R}$ une fonction en escalier.

Il existe donc une subdivision $(c_0=a < c_1 < c_2 < \cdots < c_n=b)$ (avec $n \geq 1$) telle que $f$ est constante sur chaque intervalle $]c_k ; c_{k+1}[$, pour tout $0 \leq k \leq n-1$. On note $y_k$ la valeur de $f$ sur l'intervalle $]c_k ; c_{k+1}[$.
De plus, $\int_a^b f = \sum_{k=0}^{n-1} y_k (c_{k+1}-c_k)$
donc $\int_a^b \lvert f \rvert = \sum_{k=0}^{n-1} \lvert y_k \rvert (c_{k+1}-c_k)$.

Si $\int_a^b \lvert f \rvert = 0$ alors $\sum_{k=0}^{n-1} \lvert y_k \rvert (c_{k+1}-c_k) = 0$
C'est une somme de terme positifs, ils sont tous nuls donc $y_k$ est nul quel que soit $k$ compris entre $0$ et $n-1$, ce qui montre que la fonction est nulle.

On a donc bien $p(f) = 0 \Longrightarrow f = 0$, ce qui fait que $p$ est une norme.

Ha... je l'ai pas vu venir ! Merci beaucoup Chaurien ;-)