Fonction en escalier et semi-norme
Bonjour à tous,
Une phrase de mon livre de chevet actuel (Jean-Pierre Marco Mathématiques L3 : analyse, page 70) me laisse dubitatif.
La définition d'une semi-norme est la suivante :
La propriété qui me laisse perplexe est celle-ci :
Je cherche donc une fonction en escalier sur un intervalle [a ; b] qui ne soit pas nulle mais telle que l'intégrale de cette fonction le soit. Et ça me parait impossible, car cette intégrale est une somme finie (puisque les subdivision le sont) de termes positifs, donc chaque terme est nul, donc l'intégrale est nulle.
Est-ce que ça ne serait pas plus juste de parler de fonctions simples ? L'indicatrice de Q sur [0, 1] par exemple est une fonction simple non nulle dont l'intégrale est nulle.
Merci d'avance pour vos lumières,
celastus
Une phrase de mon livre de chevet actuel (Jean-Pierre Marco Mathématiques L3 : analyse, page 70) me laisse dubitatif.
La définition d'une semi-norme est la suivante :
La propriété qui me laisse perplexe est celle-ci :
Je cherche donc une fonction en escalier sur un intervalle [a ; b] qui ne soit pas nulle mais telle que l'intégrale de cette fonction le soit. Et ça me parait impossible, car cette intégrale est une somme finie (puisque les subdivision le sont) de termes positifs, donc chaque terme est nul, donc l'intégrale est nulle.
Est-ce que ça ne serait pas plus juste de parler de fonctions simples ? L'indicatrice de Q sur [0, 1] par exemple est une fonction simple non nulle dont l'intégrale est nulle.
Merci d'avance pour vos lumières,
celastus
Réponses
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Revois la définition d'une fonction en escalier.
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Fonction étagée et semi-norme
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Soit $f : [a ; b] \to \mathbb{R}$ une fonction en escalier.
Il existe donc une subdivision $(c_0=a < c_1 < c_2 < \cdots < c_n=b)$ (avec $n \geq 1$) telle que $f$ est constante sur chaque intervalle $]c_k ; c_{k+1}[$, pour tout $0 \leq k \leq n-1$. On note $y_k$ la valeur de $f$ sur l'intervalle $]c_k ; c_{k+1}[$.
De plus, $\int_a^b f = \sum_{k=0}^{n-1} y_k (c_{k+1}-c_k)$
donc $\int_a^b \lvert f \rvert = \sum_{k=0}^{n-1} \lvert y_k \rvert (c_{k+1}-c_k)$.
Si $\int_a^b \lvert f \rvert = 0$ alors $\sum_{k=0}^{n-1} \lvert y_k \rvert (c_{k+1}-c_k) = 0$
C'est une somme de terme positifs, ils sont tous nuls donc $y_k$ est nul quel que soit $k$ compris entre $0$ et $n-1$, ce qui montre que la fonction est nulle.
On a donc bien $p(f) = 0 \Longrightarrow f = 0$, ce qui fait que $p$ est une norme. -
La fonction est nulle sur les intervalles ouverts $]c_k, c_{k+1}[$ mais pas forcément aux points $c_k$.
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Ha... je l'ai pas vu venir ! Merci beaucoup Chaurien ;-)
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