Espace de Sobolev

Dejà comment faites vous la majoration que vous avez là s'ils vous plaît?

Bonjour
Je ne saurais poser cette question autrement si ce n'est d'envoyer l'article sur lequel je travaille mais le problème est que je ne pense pas que vous auriez du temps pour lire, comprendre les notations afin de m'aider à résoudre mon problème.

Je m'excuse d'avoir mis long pour répondre. Je n'étais pas connecté depuis. il s'agit du lemme $4.3$ de l'article que je vais joindre ici, page 850.

Déjà que j'ai supposé connu l'existence (toute aide pour montrer l'existence serait la bienvenue) de solution pour le problème $(4.5)$ je suis en train de vouloir montrer l'unicité de solution pour le problème $(4.4)$ et je me retrouve coincé après $(4.7)$ lorsqu'il faut montrer que :
$-\int_0^t \int_{\Omega} (\tilde{h}(u_0(s),\mathbb D\textbf{u})-\tilde{h}(v_0(s),\mathbb D\textbf{v}))u'(s)dxds\le k \int_0^t (\lVert u'(s) \rVert_{L^2(\Omega)}^2+\lVert Du(s) \rVert_{L^2(\Omega)^N}^2) ds$.

Oui il y a la compacité quelque [part].
Donc je peux appliquer l'inégalité de Gronwall suivante.
Soit $\varphi$ une fonction dérivable et positive, $\lambda \in L^1(]0,T[)$ et positive telles que : $\quad \dfrac{d\varphi}{dt} \le \lambda \varphi,$ alors,
$$\varphi(t) \le \varphi(0) \exp\Big(\int_{0}^{t} \lambda (s)ds\Big) ,\quad\forall t\in ]0,T[.

$$ Avec $ \lambda$ dépendant de $\varphi$ ??

C'est vrai que même si $\lambda$ dépendait de $\varphi$ la démonstration reste inchangée.

J'ai procédé comme suit.
$$\int_{\Omega} \lvert u_0 \rvert^{\gamma} \lvert u \rvert \lvert v \rvert dx \le \Big(\int_{\Omega} \lvert u_0 \rvert^{\gamma N}dx\Big)^\frac{1}{N}\Big(\int_{\Omega} \lvert u \rvert^\frac{2N}{N-2} dx\Big)^\frac{N-2}{2N} \lVert v \rVert_{L^2(\Omega)} \quad \text{(inégalité de Holder généralisée).}
$$ Puisque $p < \frac{2N}{N-2}$, alors $\ L^\frac{N-2}{2N}(\Omega) \hookrightarrow L^p(\Omega),$ d'où
$$\Big(\int_{\Omega} \lvert u \rvert^\frac{2N}{N-2} dx\Big)^\frac{N-2}{2N} \le c\lVert u \rVert_{L^p(\Omega)}
$$ et puisque $H^1_0 \hookrightarrow L^p(\Omega)$ alors $$\lVert u \rVert_{L^p(\Omega)} \le c\lVert Du \rVert_{L^2(\Omega)^N}
$$ donc
$$\int_{\Omega} \lvert u_0 \rvert^{\gamma} \lvert u \rvert \lvert v \rvert dx \le c\Big(\int_{\Omega} \lvert u_0 \rvert^{\gamma N}dx\Big)^\frac{1}{N}\lVert Du \rVert_{L^2(\Omega)^N}\lVert v \rVert_{L^2(\Omega)}\le c\big( \lVert Du \rVert_{L^2(\Omega)^N} ^2+\lVert v \rVert_{L^2(\Omega)}^2\big)
$$ Le même travail s’effectue sur l'autre membre i.e: $$\int_{\Omega} \lvert v_0 \rvert^{\gamma} \lvert u \rvert \lvert v \rvert dx \le c\big( \lVert Du \rVert_{L^2(\Omega)^N} ^2+\lVert v \rVert_{L^2(\Omega)}^2\big)
$$ et on a le résultat.
C'est vrai que ce qui me bloquait était de penser que $c$ ne peut pas dépendre de $u_0$ et $v_0$.
Merci O.G.

Ah ok c'est bon, ça dépend de $s$ mais il suffit de voir l'expression de $k$ pour comprendre que c'est dans $L^1$. Mais ce qui m'intrigue est qu'ils ont sorti $k=c\Big(\big(\int_{\Omega} \lvert u_0\rvert^{\gamma N}dx\big)^\frac{1}{N}+\big(\int_{\Omega} \lvert v_0 \rvert^{\gamma N}dx\big)^\frac{1}{N}+1\Big)$ de l'intégrale.

Je ne pense pas être sur la voie vu vos indications.

Bonjour.
Encore un petit souci au début de cette article ci-dessus cité s’il vous plait.
À la page 845, on demande de montrer que $V_0$ est un espace de Banach.
J’ai pensé à montrer que c’est un sous-espace fermé de V. Pour cela j’ai pris une suite $(u_n)$ dans $V$ qui converge vers $u$ dans $V,$ et je veux montrer que $u(0)=0$ et que $u’(0)=0$.
J’ai montré que $u(0)=0$, mais concernant le cas de $u’(0)$ je n’y parviens pas.

Ah oui à cause de la densité de $H^1_0(\Omega )$ dans $L^2(\Omega)$ les formes linéaires sur $H^1_0$ sont les éléments de $L^2$