Termes généraux de suites récurrentes

Riemann_lapins_cretins
Riemann_lapins_cretins
dans Analyse

Bonjour.

En donnant des cours particuliers à des terminales je me rends compte qu'il y a sur le chapitre des suites encore un petit mystère. Il y a toujours cet exercice dans lequel on a une suite définie par récurrence, à laquelle on fait subir une transformation, et il se trouve que la nouvelle suite est, par magie, géométrique ou arithmétique, donc on a son terme général, puis celui de notre suite de base, tour le monde est content.

Je connais le truc pour les suite artihmetico-geometriques par exemple. Par contre, il y a d'autres cas où je ne sais pas d'où sort la transformation.

Si donc vous avez des explications et méthodes pour traiter des familles de suites récurrentes de cette façon, pour créer mes propres exercices, je suis preneur.

Merci à vous !

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Tu peux donner un ou plusieurs exemples de ces autres ça ? Je ne me souviens que du cas arithmetico-géométrique au lycée.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins

    De mémoire on a aussi des relations du type :
    $u_{n+1} = \frac{au_{n} + b}{cu_{n} + d}$

    On transforme la suite je ne sais plus trop comment (je crois que ça doit être $v_{n} = \frac{1}{u_{n} - m}$) et la nouvelle suite est par miracle arithmétique.

    Et peut-être qu'il y en a encore d'autres. Je veux bien une botanique la plus complète possible pour varier un peu les plaisirs.
  • ev
    ev
    Les suites homographiques sont plutôt dociles à ce jeu.

    On m'a dit qu'il y aurait des matrices là-dessous, mais est-ce bien sérieux ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ev
    ev
    @ RLC

    Dans le cas où il y a deux points fixes distincts \( p \) et \( q \), prendre \( v_n = \dfrac{u_n-p}{u_n-q} \) puis bien secouer.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins

    Merci ev, je vais faire des tentatives.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Une homographie différente de l'identité a deux points fixes (qui peuvent etre confondus) et est entièrement caractérisée par l'image de 3 points distincts.
    Les homographies qui fixent $\infty$ sont les applications affines.
    Et finalement:
    Toute homographie est conjuguée à une application affine.

    En effet, si $f$ ne fixe pas $\infty$, elle a au moins un point fixe fini, disons $p$. Il existe toujours une homographie $g$ qui échange $p$ et $\infty$ ($g$ n'est pas unique, mais par exemple $g(x) = p + \frac{1}{x-p}$ marche). Alors $gfg^{-1}$ fixe $\infty$, c'est-à-dire est affine.
    Après je bloque.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins

    Merci i.zitoussi. Il me semblait que c'était au programme de sup plus ou moins implicitement mais je n'ai jamais eu le loisir d'étudier les homographies.
    Je vous dirai sur ce fil s'il y a encore d'autres cas pour lesquels le changement de variable m'échappe.
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