Ensemble dénombrable
dans Analyse
Bonjour ,
J'essaie de prouver le lemme suivant :
" Dans un espace métrique , tout ensemble dénombrable est borelien"
Quelqu'un pourrait me donner une indication svp.
J'essaie de prouver le lemme suivant :
" Dans un espace métrique , tout ensemble dénombrable est borelien"
Quelqu'un pourrait me donner une indication svp.
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Réponses
Alors $B_x$ est mesurable comme complémentaire d'un ouvert qui est mesurable par définition de la tribu borélienne.
De plus, $B_x = \{x\}$, donc tout ensemble dénombrable $A$ est réunion dénombrable des $B_x$ pour $x\in A$, et est donc mesurable comme union dénombrable d'ensembles mesurables.
{ x} = intersection ] x-1/n , x+1/n [ pour tout x€R , n€N*
Comme les ouvert sont borelien et que ses derniers sont stables par intersection dénombrable on en déduit alors que les singleton sont borelien. C'est bon ?
skyffer3 merci pour votre démonstration.
Un singleton c'est pas propre à R.
Les singletons sont des fermé , or les fermes sont des boreliens donc les singleton sont boreliens.
Que voulez-vous dire avec votre dernier phrase :"singleton n'est pas propre a R "