Exercice calcul différentiel

anymal34
anymal34
dans Analyse
Bonjour à tous,
Voici un exercice avec son corrigé. Sur la question 2), j'ai réussi à "trouver" la différentielle mais je n'arrive pas à prouver que $\varphi$(P(t)+H(t)) - $\varphi$(P(t)) -$\int_ {0}^{1}$ H(t).f'(P(t))dt est un o(||H(t)||).
J'ai essayé avec une formule de Taylor-Young ou Taylor avec reste intégral mais je n'arrive rien à prouver avec.
Pourriez-vous m'indiquer une démonstration ou me donner une piste svp ?
Merci beaucoup pour votre aide,
Nicolas110100
110102

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Attention à ton utilisation de la lettre $t$, elle est à la fois hors de l'intégrale et variable d'intégration !

    Pour la solution, c'est la même chose qu'au-dessus : $$\varphi(P+H) - \varphi(P) = \int_0^1 \big(f(P(t)+H(t)) - f(P(t))\big) \,\mathrm{d}t = \int_0^1 f'(P(t))H(t) \,\mathrm{d}t + \int_0^1 o(|H(t)|) \,\mathrm{d}t.$$ La dernière intégrale est alors $o(||H||_{\infty})$ par exemple.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Il y a quelque chose qui me gêne: pour tout $x \in \R$
    $f$ est dérivable en $ x$ donc on a $f(x+y)=f(x)+f'(x) y + y \epsilon(x,y)$ avec $\epsilon(x,y)$ qui tend vers $0$ quand $y$ tend vers $0$.

    Alors $\phi(P+H)-\phi(P)-\int_0^1 f'(P(t)) H(t) dt = \int_0^1 H(t) \epsilon ( P(t) , H(t)) dt $ ;

    et comment on finit-on sans précision supplémentaire de la régularité de $f'$ ?
     
  • Poirot
    Poirot
    @bd2017 : Tu as raison je n'ai pas été prudent, il y a un problème d'uniformité en $x$, il faut certainement supposer $f$ de classe $\mathcal C^1$ pour être tranquille.
  • talbon
    talbon
    Bonsoir,

    Est-ce qu'on s'en sort avec $f$ seulement dérivable ? On ne sait même pas si $f'$ est intégrable, non ?

    [édit. Ah. Posté avant d'avoir vu les messages précédents, de fil en aiguille je m’étais perdu dans des théories de l'intégration obscures :-D]
  • anymal34
    anymal34
    Merci Poirot pour ton aide,
    quand tu dis "La dernière intégrale est alors o(||H||) par exemple. ", tu parles bien de la norme infinie sur les espaces des fonctions et non des polynômes, n'est pas ? Pour pouvoir mettre, f(P(t)+H(t))-f(P(t))=f'(P(t)).H(t) + o(H(t)) il faut être sur que pour tout 0<t<1, |H(t)|<=||H||, ce qui est évident quand on utilise la norme infinie de l'espace des fonctions (et non des polynômes). Ai-je bien compris stp ?
    De même quand dans la correction de l''exercice, l'auteur mets "...=o(||Q||)" il utilise la norme 2 des espaces de fonctions (et non des polynômes) stp ?

    dans ce cas, on peut écrire:
    $\int_{0}^{1}$ o(|H(t)|)dt = $\int_{0}^{1}$ $\varepsilon_{||H||}$H(t)dt $\leq$ $\varepsilon_{||H||}.||H||_{\infty}$

    Merci beaucoup
    Nicolas
  • bd2017
    bd2017
    @Poirot, on est d'accord, un peu de régularité sur f' c'est souhaitable.

    @anymal 34 Je crois que mon intervention n'a servi à rien pour toi!

    Pour moi tu n'as rien démontré. Le terme complémentaire est un o(||H||) reste encore à prouver proprement.

    D'autre part concernant la norme, on s'en fout, toutes les normes sont équivalentes. Il s'avère que la norme infinie sera surement pratique pour la démonstration qui reste à faire.
     
  • anymal34
    anymal34
    Merci à vous 2
    Je crois que j'ai perdu assez de temps sur l'exercice, sans vraiment avoir de solution.
    Je reviendrai dessus plus tard, la solution me paraîtra peut-être plus évidente.
    Bonne soirée,
    Nicolas.
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