Compacité
Bonsoir à tous,
je voulais savoir pour prouver que: la partie G= {ga(x)} de C([0;1]) dans C([0;1]) ou ga(x)=sin(a+x) a appartient à IR est compact
Si en utilisant TAF je dis que sin(a+x) c'est borné par 1 donc l'ensemble des ga est bornée par 1 du coup et comme [0;1] sous ensemble fermé borné de IR et ga continues sur IR et G non vide , cela fonctionne pour dire que G est compact?
je voulais savoir pour prouver que: la partie G= {ga(x)} de C([0;1]) dans C([0;1]) ou ga(x)=sin(a+x) a appartient à IR est compact
Si en utilisant TAF je dis que sin(a+x) c'est borné par 1 donc l'ensemble des ga est bornée par 1 du coup et comme [0;1] sous ensemble fermé borné de IR et ga continues sur IR et G non vide , cela fonctionne pour dire que G est compact?
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Réponses
Du coup c’est possible d’appliquer ce corollaire?
Soit X un espace métrique compact (=>[0,1]) Y espace métrique (=>C[0,1]), G inclus dans C(X,Y) ( => C ( [0,1], C([0,1]) )
Alors G est une partie relativement compacte dans Y ( C([0,1]) si :
- G équicontinue sur X
- {f(x) | f appartient à H} est relativement compact dans Y (donc je dois montrer comment que l'ensemble des f est relativement compact sur Y ?)
[Évite d'écrire tes abréviations (tu es le seul à les comprendre) ! AD]
- [0,1] compact,
- G équicontinue sur [0,1] au point x0, car les ga sont 1- lip et donc en prenant le delta = epsilon cela fonctionne en x0, mais comme on peut prendre x0 en tout point de X, G est équicontinue (hypothèse validée)
- Ensuite il faut que G soit relativement compact sur C[0,1] , mais les ga sur C[0,1] sont bornées car lip ce qui m'a permis d'impliquer l'équicontinuité, donc l'ensemble des ga (=G) sont bornées (je ne me trompe pas jusque là?)