Limite intégrale suite de fonctions

Encore un problème du dernier AMM.

Cela revient, sauf erreur, à démontrer que : $\displaystyle \frac{n}{\ln(n)}\int_{0}^{1}x^n(f(x^n)-1)\ln(1-x)dx$ tend vers $0$.

On n'a pas besoin du théorème de convergence dominée pour démontrer que la limite de $u_n=\dfrac{n}{\ln(n)}\displaystyle\int_{0}^{1}x^nf(x^n)\ln(1-x)dx$ est égale à $-\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt$ quand $f$ est continue sur $[0,1]$.

Après avoir fait le changement de variable $t=x^n$ on écrit :

$u_n+\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt=\displaystyle\int_0^1 (1-t^{1/n})f(t)dt+\dfrac{v_n}{\ln(n)}$ avec $v_n=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{1/n}f(t)\ln(n (1-t^{1/n}))dt$.

$|\displaystyle\int_0^1 (1-t^{1/n})f(t)dt|\leq M \int_0^1 (1-t^{1/n})=\dfrac M{n+1}$ qui tend vers $0$.

$n (1-t^{1/n})=n (1-\exp(\ln(t)/n)\leq -\ln(t)$ puisque $\exp(u)\geq 1+u$.

$n (1-t^{1/n})\geq 1-t$ car la fonction définie par $g(x)=x(1-\exp(\ln(t)/x))$ est croissante pour $x>0$ puisque $g'(x)=\exp(\ln(t)/x)(\exp(-\ln(t)/x)-1+\ln(t)/x)\geq0$.

On en déduit que $|v_n|\leq M \displaystyle\int_{0}^{1} (|\ln(-\ln(t))|+|\ln(1-t)|)dt$ qui est une constante.

L'utilisation du théorème de convergence dominée donne un résultat plus précis : $u_n+\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt\sim\dfrac{1}{\ln(n)}\int_0^1f(t)\ln(-\ln(t))dt$.