Inconvénient de la transformée de Fourier

Bonjour,

L'auteur interprète $p_f(t)\triangleq f(t)^2/\Vert f\Vert_{L_2}^2$ comme une densité de probabilité sur $\mathbb{R}$. Il s’intéresse à la dispersion $\sigma_f$ des valeurs autour de la moyenne (notée $u$). C'est une façon de caractériser à quel point $f$ est localisée, i.e. fortement piquée ou étendue spatialement.

Idem avec $\hat{f}(\omega)^2/\Vert f\Vert_{L_2}^2$ pour caractériser l'extension en fréquence de $\hat{f}$ (à renormalisation près de la transformée de Fourier $\Vert f\Vert_{L_2}^2=\Vert \hat{f}\Vert_{L_2}^2$).

En s'appuyant sur le principe d'incertitude, il commente que si $f$ est locale, $\hat{f}$ ne l'est pas et réciproquement. Ainsi par exemple, des caractéristiques locales (dans un voisinage d'un point d'une image ou d'un signal audio) ne vont généralement pas être bien localisées en fréquence. Hors tout l’intérêt serait d'obtenir une description simple du voisinage*, au sens de beaucoup d'information résumée sur un objet de faible dimension (idéalement un scalaire, ou un bit !).

* et plus généralement pour l'image, une description hiérarchisée qui révèle clairement le contenu à différentes échelles dans l'image.