Majoration du type $\alpha$-Hölderienne

Bonjour, quelqu'un peut m'aider à démontrer ceci
Soit $\alpha \in [0,1]$ alors $\forall x, y, \xi\in \mathbb R^d$, on a
$$|e^{ix\xi}-e^{iy\xi}|\leq 2|x-y|^\alpha |\xi|^\alpha$$

Pour $\alpha=0$ on utilise une inégalité triangulaire.
Pour $\alpha=1$ on utilise le théorème des accroissements finis.
mais je n'ai pas d'idée pour $\alpha \in ]0,1[. $

Merci d'avance!