Surjectivité de la primitivation
Bonjour à tous,
Je m'interrogeais sur l'injectivité et la surjectivité de l'application ci-dessous mais je suis surpris du résultat : il me semble réussir à prouver qu'elle est injective et non surjective alors qu'intuitivement, j'aurais pensé le contraire. Quelqu'un peut-il vérifier mon raisonnement et me dire si je me suis trompé quelque part ? Merci d'avance de votre aide.
$\varphi$ de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ dans $\mathcal{C}^1(\R,\R)$ définie par : $\varphi(f): x \mapsto\int_0^xf(t)dt$.
Injectivité : On suppose $\varphi(f)=0$. En dérivant, on obtient $f=0$ d'où l'injectivité.
Surjectivité : J'essaie de montrer que les fonctions constantes non nulles n'ont pas d'antécédants par $\varphi$. En particulier pour la fonction constante égale à 1, raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe $f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)$ telle que $\varphi(f)=1$. En dérivant, on obtient $f=0$. On en déduit que $\varphi(f)=0$. Contradiction.
Ainsi $\varphi$ est injective mais pas surjective.
En fait pour être plus précis, il me semble que l'image directe de $\varphi$ est l'ensemble des fonctions $\mathcal{C}^1$ qui s'annulent en $0$.
Je m'interrogeais sur l'injectivité et la surjectivité de l'application ci-dessous mais je suis surpris du résultat : il me semble réussir à prouver qu'elle est injective et non surjective alors qu'intuitivement, j'aurais pensé le contraire. Quelqu'un peut-il vérifier mon raisonnement et me dire si je me suis trompé quelque part ? Merci d'avance de votre aide.
$\varphi$ de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ dans $\mathcal{C}^1(\R,\R)$ définie par : $\varphi(f): x \mapsto\int_0^xf(t)dt$.
Injectivité : On suppose $\varphi(f)=0$. En dérivant, on obtient $f=0$ d'où l'injectivité.
Surjectivité : J'essaie de montrer que les fonctions constantes non nulles n'ont pas d'antécédants par $\varphi$. En particulier pour la fonction constante égale à 1, raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe $f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)$ telle que $\varphi(f)=1$. En dérivant, on obtient $f=0$. On en déduit que $\varphi(f)=0$. Contradiction.
Ainsi $\varphi$ est injective mais pas surjective.
En fait pour être plus précis, il me semble que l'image directe de $\varphi$ est l'ensemble des fonctions $\mathcal{C}^1$ qui s'annulent en $0$.
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