Transformation d'Abel

Lorsque l'on a une configuration de la forme $\displaystyle \sum_{n} a_n f(n)$ où $f$ est une fonction de classe $C^1$, il est plus avantageux d'utiliser une sommation d'Abel, appelée aussi sommation partielle, qui est un raffinement de la transformation d'Abel : ici, avec $f(n) = 1/n$, il vient
$$\sum_{k > n} \frac{z_k}{k} = - \frac{1}{n} \sum_{k \leqslant n} z_k + \int_n^\infty \frac{1}{t^2} \left( \sum_{k \leqslant t} z_k \right) \, \textrm{d}t.$$
Puisque ta série $\sum_k z_k$ converge, disons vers la somme $S$, il vient alors
$$\sum_{k > n} \frac{z_k}{k} = - \frac{1}{n} \left( S + o(1) \right) + \int_n^\infty \frac{1}{t^2} \left( S + o(1) \right) \, \textrm{d}t = o \left( \frac{1}{n} \right).$$

Edit. Les indices du $1$er terme ont été corrigés suite à la remarque de Poirot plus bas.

À qui t'adresses-tu ?

Quelle ligne te bloque ?

À la fin on a :
\begin{align*}
\sum_{k=n}^\infty S_k\Big(\dfrac 1 k -\dfrac{1}{k+1}\Big)-\dfrac{S_n}n &\leq \sum_{k=n}^\infty (S_n+\epsilon)\Big(\dfrac 1 k -\dfrac{1}{k+1}\Big)-\dfrac{S_n}n \\
& = (S_n+\epsilon) \sum_{k=n}^\infty \Big(\dfrac 1 k -\dfrac{1}{k+1}\Big)-\dfrac{S_n}n \\
&= \frac{S_n+\epsilon}n - \frac{S_n} n.
\end{align*} et de même dans l'autre sens.

Poirot : je ne comprends pas ce que tu dis (essaie $z_k = 1/k^2$).

Oublie le critère de Cauchy (je ne parlais pas de séries de Cauchy ni de produit).

Sachant que $(S_n)_n$ converge, est-ce que c'est dur de démontrer que pour tout $\epsilon > 0$ il existe $N$ tel que pour tout $k\geq n>N$ on a $S_n- \epsilon \leq S_k \leq S_n+\epsilon$ ?

C'est juste l'application de la définition de la limite en jouant en une ou deux lignes avec les $\epsilon$.

Accessoirement, je suis assez choqué que tu n'aies pas encore vu le critère de Cauchy, j'ose espérer que c'est encore en programme, sinon c'est qu'il n'y a vraiment plus grand chose ::o

Plus de Fourier, plus de topologie, plus de Cauchy donc plus d'espaces de Banach, plus de théorie des groupes j'imagine, il reste quoi à part des probas foireuses pour faire semblant de se mettre à la mode machine learning ? ::o

Enfin, tout ça n'est pas de ta faute.