Équivalent d'une suite particulière
Bonjour à tous ! Je bloque sur une question pour montrer un équivalent.
Voici les infos :
$n\in\mathbb{N}^*$. Soit $u_n$ est l'unique solution de l'équation $f_n(x)=1$, avec :
$$f:\left\{\begin{array}{lcl}\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\x &\longmapsto &\left\{\begin{array}{cl}x e^{\tfrac{-n}{x}}&\mathrm {si\ } x\ne 0 \\ 0 &\mathrm {si \ } x=0 \end{array}\right.\end{array}\right.
$$J'ai réussi à montrer que $\quad\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
et que $\quad\ln(u_n)+\ln(\ln(u_n))=\ln(n)\qquad (*)$
Je n'arrive pas à montrer que $\quad \ln(u_n) \underset{+\infty}{\sim} \ln(n).$
J'essaye de prouver cela en considérant le quotient $\dfrac{\ln(u_n)}{\ln(n)}$, ainsi avec $(*)$ j'obtiens :
$\dfrac{\ln(u_n)}{\ln(n)}+\dfrac{\ln\big(\ln(u_n)\big)}{\ln(n)}=1$ mais je ne sais plus quoi faire de cette égalité.
Merci d'avance à tous ceux qui peuvent m'éclairer.
Voici les infos :
$n\in\mathbb{N}^*$. Soit $u_n$ est l'unique solution de l'équation $f_n(x)=1$, avec :
$$f:\left\{\begin{array}{lcl}\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\x &\longmapsto &\left\{\begin{array}{cl}x e^{\tfrac{-n}{x}}&\mathrm {si\ } x\ne 0 \\ 0 &\mathrm {si \ } x=0 \end{array}\right.\end{array}\right.
$$J'ai réussi à montrer que $\quad\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
et que $\quad\ln(u_n)+\ln(\ln(u_n))=\ln(n)\qquad (*)$
Je n'arrive pas à montrer que $\quad \ln(u_n) \underset{+\infty}{\sim} \ln(n).$
J'essaye de prouver cela en considérant le quotient $\dfrac{\ln(u_n)}{\ln(n)}$, ainsi avec $(*)$ j'obtiens :
$\dfrac{\ln(u_n)}{\ln(n)}+\dfrac{\ln\big(\ln(u_n)\big)}{\ln(n)}=1$ mais je ne sais plus quoi faire de cette égalité.
Merci d'avance à tous ceux qui peuvent m'éclairer.
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