Calcul d'une intégrale généralisée

Il vaut mieux poser $I(z)=\int_z^{+\infty}\frac{\tanh 3x-\tanh 2x }{x}dx$ pour $z>0$.

...les poules...seront à court d'idée? X:-(

JP NL:
Transformer l'intégrande pour n'avoir que des $\tanh x$ (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique#Propriétés ) puis faire le changement de variable $y=\tanh x$.

Je n'ai pas fait les calculs, c'est seulement une idée comme ça.

Après enquête, https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Frullani est sûrement utile.

Je recopie les notes de la fin de l'article mentionné par Chaurien, en corrigeant les fautes :

A. M. Ostrowski a écrit:

This formula was first published by Cauchy in 1823 and more completely in 1827 with a beautiful proof which is used as standard in all textbooks today.
About 1829, Frullani published the same formula and mentioned that he had communicated it to Plana in 1821. However, Frullani's proof is completely illusory.

Si le calcul de JP NL est correct on n'utilise pas d'hypothèse de limite sur la fonction $F$ pour calculer $\displaystyle \int_0^\infty \frac{F(ax)-F(bx)}{x}dx$.

Cette hypothèse est remplacée, si je comprends bien, par l'hypothèse $\displaystyle \int_0^\infty \frac{F(x)-1}{x}dx$ existe et est finie.

Comme le fait observer jandri, il y a plusieurs hypothèses sur la fonction $f$ qui permettent de calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{f(bt)-f(at)}tdt$. Si l'on prend celles qu'il donne, avec $a>0$, $b>0$, et $f$ continue par morceaux et de limite $L$ en $0$, on trouve $L \ln \frac ab$. Il est vraiment remarquable que cette valeur soit la même pour toutes les fonctions $f$ qui satisfont à ces conditions minimes !
Ceci se fait sans recours aux intégrales doubles.
Avec ces hypothèses ou d'autres, ce type d'intégrale revient de temps en temps les oraux de concours. On le trouve déjà dans un vieux recueil que je cite parfois : G. Lefort, Algèbre et analyse, exercices, Dunod, 1961, n° 537, p. 299 : bientôt soixante ans !
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Non, la formule donnée par Chaurien est exacte.
Quand la fonction $f$ a pour limite $L$ en $0$ et $L'$ en $+\infty$ l'intégrale vaut $(L'-L)\ln(b/a)$.

Dans le cas de $f=\cos$, cela permettrait à notre ami jean lismonde d'affirmer que $\cos(x)$ a pour limite $0$ en $+\infty$.

bonjour jandri

puisque tu m'interpelles (gentiment) je te répondrai que je ne passe par Frullani

pour démontrer que sin(x) et cos(x) tendent vers 0 pour x infinie

mais par le théorème de Cesàro avec la moyenne analytique des deux fonctions :

pour cos(x) la moyenne analytique est :
$\frac{1}{x}\int_0^xcos(t)dt = \frac{sinx}{x}$ qui tend vers 0 pour x infinie

pour sin(x) la moyenne analytique est :
$\frac{1}{x}\int_0^xsin(t)dt = \frac{1 - cos(x)}{x}$ qui tend également vers 0 pour x infinie

cela suffit à dire que les deux fonctions cosinus et sinus tendent vers 0 pour x infinie
(on pourrait montrer par le même procédé que cos²x et sin²x tendent toutes les deux vers 1/2 pour x infinie)

pour cos(x²) et sin(x²) la limite est nulle comme on peut le vérifier avec l'intégrale de Fresnel :
$\int_0^{+oo}cos(x²)dt = \int_0^{+oo}sin(x²)dt = \frac{1}{4}\sqrt{2\pi}$
qui exige forcément que cos(x²) et sin(x²) convergent vers 0 pour x infinie

il serait temps plus d'un siècle après la mort (accidentelle) d'Ernesto Cesàro de comprendre
que son théorème lève le voile sur les propriétés asymptotiques des fonctions sinusoïdales
même si les résultats peuvent paraître paradoxaux
et contredisent parfois certaines propriétés des limites de fonctions monotones

cordialement

Quand jean lismonde dit que $sin(x)$ et $cos(x)$ tendent vers $0$ pour $x$ infini, il ne s'agit pas de la limite au sens usuel mais d'une extension de la notion à des fonctions qui n'ont pas de limite au sens usuel.

C'est comme pour certaines séries divergentes à qui on attribue une somme, comme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n=\dfrac12$ qu'on obtient en faisant $x=-1$ dans $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\dfrac1{1-x}$ (ce qu'on n'a pas le droit de faire).

Je m'adresse gentillement ou gentiment à mon cher ami jean lismonde.
Comment démontres-tu sans reproches que $$x\mapsto \sin^2(x)+\cos^2 (x)$$ tend vers 0 à l'infini

YvesM, tu te trompes! JL va donner une preuve à cela

Poirot, on fait un pari. Mon ami JL va démontrer que
$$\displaystyle \cos^2 x\to 0,(x\to +\infty).$$ et non pas $\displaystyle \cos^2 x\to 1/2,(x\to +\infty).$

Math Coss, j'ai posé la question à JL et mon but était qu'il explique une fois pour toute cette note contradictoire avec le fait que sin²(x)+cos²(x)=1

Jean Lismonde a écrit:

tu poses un problème de limites qui divise les matheux depuis 2 siècles alors qu'Euler avait montré aupavant que sinx tendait bien vers 0 pour x infini

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