Équation avec laplacien
dans Analyse
Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour un exercice.
Soit $3 \leq d$ (un entier)
Soit $f \in S(\mathbb{R}^d)$ et $u(x)=C\int_{\mathbb{R}^d}^{}{\|x-t\|^{2-d}f(t)dt}\quad$ (ici la norme euclidienne)
On doit trouver un $C$ (qui dépend de $d$) tels que $\Delta u=f$.
Merci beaucoup !
j'aurais besoin d'aide pour un exercice.
Soit $3 \leq d$ (un entier)
Soit $f \in S(\mathbb{R}^d)$ et $u(x)=C\int_{\mathbb{R}^d}^{}{\|x-t\|^{2-d}f(t)dt}\quad$ (ici la norme euclidienne)
On doit trouver un $C$ (qui dépend de $d$) tels que $\Delta u=f$.
Merci beaucoup !
Réponses
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Bonjour
Si d=2, u(x) ne dépend pas de x. Il faut corriger ta formule. -
J'ai oublié de préciser que d>=3 désolé.
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Retrouver la constante $C$ revient à savoir calculer $\Delta h,$ où $h(x)=\| x\|^{2-d}$.
D'abord calcule $\Delta h (x), $ lorsque $x\neq 0$.
Ensuite $<\Delta h , \phi >\,=\int_{\R^d} h(x) \Delta \phi(x) dx=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_ {|x|>\epsilon} h(x) \Delta \phi(x) dx= \ldots$
Puis continuer en appliquant la formule de Green. -
Alors en passant en coordonnés sphériques en dimension $d$.
Pour $x$ non nul, on a $h(x)=r^{2-d }$
Donc $\Delta h=(2-d)(1-d)r^{-d}+(d-1)(2-d)r^{-d}=0$ ???
Je ne connaissais pas la formule de Green, après quelques recherche vous parlez bien de cette formule ?
$\int_{\Omega}^{}{v\Delta u}=-\int_{\Omega}^{}{\triangledown u \triangledown v}+ \int_{\partial\Omega}^{}{\frac{\partial u}{\partial n}v}$.
Si oui je ne comprends pas la deuxième intégrale. -
Oui c'est ça. Il faut intégrer par parties 2 fois (pour retomber sur $\Delta h$) et il ne va rester que des termes de bords.
à savoir que $\partial \Omega$ est la sphére de rayon $\epsilon$ et $\partial_\nu $ représente la dérivée normale extérieure -
SI tu veux éviter d'utiliser la formule de Stokes, tu peux partir de la formule de représentation suivante (obtenue par un passage en coordonnées polaires).
Soit $u\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{d},\mathbb{R}$ (où $d\geq 3$).
Soit $x\in \mathbb{R}^{d}.$
Alors, pour tout $\omega\in \mathbb{S}^{d-1},$ $$u(x)=-\int_{0}^{+\infty}\nabla u (x+t\omega).\omega dt
$$ Ensuite, en intégrant sur $\mathbb{S}^{d-1},$ il vient : $$\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert u(x)=-\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{+\infty}\nabla u(x+t\omega).\omega dtd\omega.
$$ Par un passage en coordonnées polaires, il vient : $$\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert u(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\nabla u (y).(x-y)}{\|x-y\|^{d}}dy.
$$ En remarquant ensuite $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y_{i}}\left(\frac{1}{\|x-y\|^{d-2}}\right)=(d-2)\frac{x_{i}-y_{i}}{\|x-y\|^{d}}$ puis en procédant par intégration par parties, on obtient en posant $\displaystyle C_{d}=\frac{1}{(d-2)\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert}$
$$\forall x\in \mathbb{R}^{n},\mbox{ } u(x)=C_{d}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\Delta u (y)}{\|x-y\|^{d-2}}dy.
$$ On vient d'écrire au sens des distributions que la fonction $\displaystyle G : y\mapsto \frac{C_{d}}{\|y\|^{d-2}}$ est une solution fondamentale du Laplacien i.e.$\Delta G=\delta_{0}.$
En convolant, il vient l'expression désirée, à savoir $\Delta (G\star f)=\Delta G \star f=f.$
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Bonjour!
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