Équation avec laplacien

SI tu veux éviter d'utiliser la formule de Stokes, tu peux partir de la formule de représentation suivante (obtenue par un passage en coordonnées polaires).

Soit $u\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{d},\mathbb{R}$ (où $d\geq 3$).
Soit $x\in \mathbb{R}^{d}.$

Alors, pour tout $\omega\in \mathbb{S}^{d-1},$ $$u(x)=-\int_{0}^{+\infty}\nabla u (x+t\omega).\omega dt
$$ Ensuite, en intégrant sur $\mathbb{S}^{d-1},$ il vient : $$\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert u(x)=-\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{+\infty}\nabla u(x+t\omega).\omega dtd\omega.
$$ Par un passage en coordonnées polaires, il vient : $$\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert u(x)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\nabla u (y).(x-y)}{\|x-y\|^{d}}dy.
$$ En remarquant ensuite $\displaystyle \frac{\partial}{\partial y_{i}}\left(\frac{1}{\|x-y\|^{d-2}}\right)=(d-2)\frac{x_{i}-y_{i}}{\|x-y\|^{d}}$ puis en procédant par intégration par parties, on obtient en posant $\displaystyle C_{d}=\frac{1}{(d-2)\vert \mathbb{S}^{d-1}\vert}$
$$\forall x\in \mathbb{R}^{n},\mbox{ } u(x)=C_{d}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\Delta u (y)}{\|x-y\|^{d-2}}dy.

$$ On vient d'écrire au sens des distributions que la fonction $\displaystyle G : y\mapsto \frac{C_{d}}{\|y\|^{d-2}}$ est une solution fondamentale du Laplacien i.e.$\Delta G=\delta_{0}.$

En convolant, il vient l'expression désirée, à savoir $\Delta (G\star f)=\Delta G \star f=f.$