Équivalent de $1-e^{ix}$

zazou · October 2020

Bonjour
Je ne connais pas l'analyse complexe, mais j'ai été amené à calculer la limite suivante
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-e^{ix}}{x}=-i
$$ Sur $\mathbb{R}$, j'écrirais naturellement $e^{x}=1+x+o(x)$ et le problème serait réglé. Peut-on écrire ce genre de choses pour des fonctions à valeurs complexe ?

Dans ce cas, je m'en suis sorti en écrivant pour $x\neq 0$
$$\frac{1-e^{ix}}{x}=-\sum_{k=1}^\infty \frac{i^kx^{k-1}}{k!},
$$ puis en appliquant le théorème de convergence dominée, mais ça me semble très compliqué pour ce problème simple.

Dom · October 2020

On peut écrire avec : $\cos(x)+i\sin(x)$.
Sinon, oui pour les fonctions complexes, beaucoup de choses algébriques se passent comme sur $\R$.

BobbyJoe · October 2020

Tu peux écrire pour $x\neq 0,$ $\displaystyle \frac{1-e^{ix}}{x}=-i\int_{0}^{1}e^{itx}dt$ puis conclure en appliquant le théorème de convergence dominée (si tu veux troller! ^^) ou plus simplement en utilisant la définition de la continuité en $0$ de l'exponentielle.

gebrane · October 2020

exercice Si les parties réelles et imaginaires de deux suites sont équivalentes, alors ces deux suites sont équivalentes
ce qui donne $$1-e^{ix}\sim -ix+\frac{x^2}2$$

Chaurien · October 2020

Moi j'écrirais bêtement : $\frac{1-e^{ix}}{x}=\frac{1-\cos x}{x}-i\frac{\sin x}{x}\rightarrow -i$ quand $x\rightarrow 0$, d'où : $1-e^{ix}\sim -ix$.

gerard0 · October 2020

Oui,

c'était la proposition de Dom.

On peut aussi utiliser la théorie des fonctions complexes d'une variable réelle, et on reconnaît la dérivée en 0 de $x\mapsto e^{ix}$ qui vaut $ie^{i0}$ (la formule de la dérivée est la même que d'habitude).

Cordialement.

gebrane · October 2020

personne ne veut démonter l' exercice que j'ai proposé? je pense à Oshine

gai requin · October 2020

Salut gebrane,

Soit $(u_n),(v_n)$ deux suites de complexes telles que $\mathrm{Re}(u_n)\sim\mathrm{Re}(v_n)$ et $\mathrm{Im}(u_n)\sim\mathrm{Im}(v_n)$.
Soit $\varepsilon>0$.
Il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $(\mathrm{Re}(u_n)-\mathrm{Re}(v_n))^2=(\mathrm{Re}(u_n-v_n))^2\leq \varepsilon^2(\mathrm{Re}(v_n))^2$ et $(\mathrm{Im}(u_n-v_n))^2\leq \varepsilon^2(\mathrm{Im}(v_n))^2$.
D'où $|u_n-v_n|^2\leq \varepsilon^2|v_n|^2$ facilement.
Donc $u_n\sim v_n$.

Dom · October 2020

Je ne comprends déjà pas l’énoncé.
Comment interpréter « les parties réelles et imaginaires de deux suites sont équivalentes » ?

Édit : ok, « les parties réelles de deux suites sont équivalences et les parties imaginaires des deux suites sont équivalentes ».

zazou · October 2020

Merci beaucoup pour toutes vos réponses ! Effectivement, je me sens un peu bête avec ma preuve maintenant.

gebrane · October 2020

Gai Requin, ta preuve est meilleure , moi j'ai compliqué pour rien. Ne me demande pas de la voir! pitié :-D

gai requin · October 2020

Si, si ;-)

gebrane · October 2020

Ne ris pas trop alors !
\begin{align*}
||u_n-v_n||&=||(\mathrm{Re}(u_n)-\mathrm{Re}(v_n)+i \big(\mathrm{Im}(u_n)-\mathrm{Im}(v_n)\big)|| \\
&\leq |\mathrm{Re}(u_n)-\mathrm{Re}(v_n)|+| \mathrm{Im}(u_n)-\mathrm{Im}(v_n)| \\
&\leq \epsilon (|\mathrm{Re}(v_n)|+|\mathrm{Im}(v_n)|)
\end{align*} et puisque les normes $|x|+|y|$ et $\sqrt {x^2+y^2}$ sont équivalentes, alors $$||u_n-v_n||\leq C \epsilon \sqrt{(\mathrm{Re}(v_n))^2+ (\mathrm{Im}(v_n))^2}=C\epsilon ||v_n||.$$

gai requin · October 2020

Et même que $C=\sqrt 2$ est optimal ;-)

bisam · October 2020

gebrane :
Si on écrit \[u_n-v_n=(\Re(u_n)-\Re(v_n))+i(\Im(u_n)-\Im(v_n))=o(\Re(v_n))+i\,o(\Im(v_n))=o(|v_n|)+i\, o(|v_n|)=o(v_n)\]car on sait que $|\Re(v_n)|\leq |v_n|$ et de même $|\Im(v_n)|\leq|v_n|$, c'est de la triche ?

gebrane · October 2020

très astucieux de ta part

Chaurien · October 2020

Pour exprimer correctement ce que veut dire Gebrane avec son assertion obscure : « les parties réelles et imaginaires de deux suites sont équivalentes », on peut écrire : « les parties réelles et imaginaires de deux suites sont respectivement équivalentes ».