Équivalent d'une suite (intégrale)

Bonjour,

Décomposition en éléments simples.

Bonsoir,
Soit $\displaystyle v_{n} = n! \,u_{n} = \int _{0} ^{\infty } \frac{\mathrm{d}x}{(1+x)(1+ \frac{x}{2} )\cdots (1+ \frac{x}{n} )}$. Le graphe de $\ln(v_n)$ en fonction de $\ln(\ln(n))$ est très bien approché sur la plage $n\in[10^3,10^5]$ par une droite de pente $-0{,}97$ et d'ordonnée à l'origine $-0{,}04$ donc je conjecture que $v_n \sim \frac1{\ln(n)}$, i.e. $u_n\sim\frac1{n!\ln(n)}$. En utilisant que $(1+\frac{x}i)\leqslant e^{x/i}$ on trouve que $v_n \geqslant \frac{1+o(1)}{\ln(n)}$, mais je n'arrive pas à prouver l'inégalité contraire.
D'ailleurs, sur le papier j'ai l'impression que $v_n = \Theta(1)$, ce qui contredit ma conjecture :-S. Alors j'ai peut-être fait une erreur de calcul, je ne comprends pas trop... Je m'arrête là pour ce soir ; c'est l'heure de regarder un film. ;-)

Bonjour,
$$\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{k=1}^n(1+x/k)} \simeq \int_0^1 {\prod_{k=1}^n(1+x/k)} = \int_0^1 \exp\Big(-\sum_{k=1}^n \log(1+x/k)\Big)dx
$$ et
$$\int_0^1 \exp\Big(-\sum_{k=1}^n \log(1+x/k)\Big)dx \simeq \int_0^1 \exp\Big(-\sum_{k=1}^n x/k\Big)dx \sim 1/\log n.

$$ Il reste à justifier ces approximations. On commence par la dernière : on utilise que $\log (1+y)=y+O(y^2)$ pour $y$ petit. Ensuite pour justifier la première approximation il suffit de montrer que l'intégrale entre $1$ et $n$ est négligeable devant $1/\log n$.

Bonjour,
L'obtention de cet équivalent me paraît quand même assez délicate, et j'en propose un accès très détaillé.(je n'ai pas su tirer un parti efficace du changement de variable préconisé par Dedekind 93)

$ \displaystyle \forall n\in \N, n\geqslant 2, \:\: \forall x \in\R^+, \:\:\: F_n(x):=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac xk\right)^{-1}\mathrm dx,\quad I_n=\int_0^{+\infty}F_n, \quad J_n =\int_0^1 F_n,\quad K_n =\int_1^{+\infty} F_n.$
On va montrer que: $\:\: \displaystyle J_n\underset{n\to + \infty}{\sim}\dfrac 1{\log n}, \quad K_n=o\left(\dfrac 1{\log n}\right),\quad $ ce qui entrainera:$\quad \boxed {I_n\underset{n\to + \infty}{\sim}\dfrac 1{\log n}.}$


$\bullet \:\:$ En remarquant que $\displaystyle \prod_{k=3} ^ n \left( 1 +\dfrac 1k \right) =\frac {n+1}3,\qquad 0\leqslant K_n\leqslant \frac 3{n+1}\int_{1}^{+\infty} \dfrac 1 {(1+x)(1+ x/2)}\mathrm dx = o\left(\dfrac 1{\log n}\right)\:\square$

$\bullet\:\:$Notons: $h_n:= \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac 1k.\quad h_n J_n =\displaystyle \int_ 0^{h_n}F_n\left(\dfrac x{h_n}\right) \mathrm dx \overset{ (\bigstar)}= \int _0^{h_n} \rm e^{-x}\rm dx +\int _0^{h_n}G_n (x) \rm dx \quad $ où $\:\: \displaystyle G_n(x)= \rm e^{-x}\left (\prod _{k=1}^n \dfrac{\exp \left(\frac x{k h_n}\right)}{1+\frac x{kh_n}}- 1\right). $
Pour contrôler $G_n$ sur $[0;h_n],\;$ on utilise la majoration, facile à établir: $\quad\forall a \in [0;1], \:\: \dfrac{\rm e^a }{1+a}\leqslant 1+a^2.\:\:$
$ \displaystyle {\forall x\in [0;h_n],\: 0 \leqslant G_n(x) \leqslant \rm e^{-x}\left( \prod_{k=1}^n\left (1+ \frac{x^2}{k^2 h_n^2}\right) -1\right) \leqslant \mathrm e^{-x}\left(\exp\left(\frac {x^2}{h_n^2}\sum_{k=1}^n \frac 1 {k^2}\right )-1\right)\leqslant \mathrm e^{-x}\left(\exp\left(\frac {\pi^2 x^2}{6h_n^2} \right )-1\right)}\:\:$On déduit:
$\displaystyle{0\leqslant \int _0^{\sqrt {h_n}} G_n(x) \rm dx \leqslant \left( \exp\left( \pi^2/(6h_n)\right) -1\right) \int_0^{+\infty}\rm e^{-x}\rm dx, \qquad 0\leqslant \int _{\sqrt {h_n}}^{h_n }G_n(x) \rm dx\leqslant \left( \exp\left( \pi^2/6\right) -1\right) \int_{\sqrt {h_n}}^{+\infty}\rm e^{-x}\rm dx}.$
Ces deux encadrements fournissent alors les limites::$\quad \displaystyle{\lim_{n\to + \infty}\int _0^{\sqrt{h_n}} G_n(x)\rm dx=\lim_{n\to + \infty} \int_{\sqrt{h_n}} ^{h_n} G_n (x) \rm dx= \lim_{n\to + \infty}\int_0 ^{h_n}G_n (x)\rm dx=0,}\:\:$
puis ,avec $(\bigstar),\quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty} h_n J_n=1,\:\:\:\:J_n\underset{n\to + \infty}{\sim}\dfrac 1{\log n} \square$

Malheureusement, après ton changement de variable $u=1/x$, la deuxième intégrale devrait être : \[\int_0^1\frac{u^{n-1}}{(1+u)(1+2u)\dots(1+nu)}du\]

Il me semble qu’il y a deux démos pour l’équivalent de cette intégrale dans

https://math.stackexchange.com/questions/628852/simple-equivalent-of-int-0-infty-fracdxx1x2-xn-when-n-to-inf

La démonstration que j'ai suggérée est la dernière dans le lien donné par etanche.