Convergence série $\frac{n}{\log(n!)^2}$
Bonjour à tous
La question est la convergence de la série de terme général $\quad \dfrac{n}{\log(n!)^2}$.
Bon ce n'est pas difficile on cherche un équivalent de $\log(n!)$ en montrant que $\log(k)\sim \int_{k-1}^k \log(x)dx$ puis on "sait" que les sommes partielles de séries à termes positifs divergentes sont équivalentes et on obtient que $\log(n!)\sim n\log(n).$ Et là on invoque encore un "on sait" que la série de terme général $\dfrac{1}{n\log(n)^2}$ converge (comparaison série intégrale).
Contexte: C'est un exercice du TD que je suis censé faire avec des élèves de 3ème année en école d'ingénieur dont la majorité vient d'IUT.
Ma question est simple, est-il possible de démontrer la convergence de la série à la main sans que ça soit trop technique vu le contexte ? Merci.
La question est la convergence de la série de terme général $\quad \dfrac{n}{\log(n!)^2}$.
Bon ce n'est pas difficile on cherche un équivalent de $\log(n!)$ en montrant que $\log(k)\sim \int_{k-1}^k \log(x)dx$ puis on "sait" que les sommes partielles de séries à termes positifs divergentes sont équivalentes et on obtient que $\log(n!)\sim n\log(n).$ Et là on invoque encore un "on sait" que la série de terme général $\dfrac{1}{n\log(n)^2}$ converge (comparaison série intégrale).
Contexte: C'est un exercice du TD que je suis censé faire avec des élèves de 3ème année en école d'ingénieur dont la majorité vient d'IUT.
Ma question est simple, est-il possible de démontrer la convergence de la série à la main sans que ça soit trop technique vu le contexte ? Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
deux remarques sur l'écriture de l'énoncé
(nous autres enseignants nous demandons aux élèves de la rigueur en écriture mathématique, encore nous faut-il donner l'exemple)
d'abord dans l'enseignement secondaire français pour "logarithme népérien" on écrit "ln(x)"
(sinon log(x) indique le logarithme décimal fort utilisé en statistique descriptive)
ensuite pour logarithme au carré on écrit [ln(x)]² ou encore ln²(x)
sinon l'expression revient à ln(x²) soit 2ln|x| ce qui est bien-sûr différent
sur le fond pour répondre à ta question : tu peux prendre l'équivalent de Stirling à n! pour montrer la convergence de la série
soit en prenant le logarithme népérien : $ln(n!)$ équivalent à $n.ln(\frac{n}{e})$ et donc $ln^2(n!)$ équivalent à $n^2ln^2\frac{n}{e}$
(on néglige le terme résiduel en racine de (n) dans Stirling))
et le terme général de ta série $u_n$ admet un équivalent asymptotique $\frac{1}{n.ln^2n}$ (on néglige le e du dénominateur)
on compare ta série à une intégrale (convergente pour x infinie) soit : $\int_2^x\frac{1}{t.ln^2t} = - \frac{1}{ln(x)} + \frac{1}{ln2}$
ta série converge (modérément) vers une limite finie positive
cordialement
Par exemple en mettant des majuscules en début de phrase et des points en fin de phrase ?
Bon, personnellement je suis du même avis que toi et math coss, je n'aime pas la notation sans parenthèse et je n'aime pas du tout la notation $\sin ^2 $ que je réserve à $\sin \circ \sin$. En tout cas qu'on soit pour l'une ou l'autre notation la coexistence des deux entraine parfois des quiproquos. J'ai récemment eu des étudiants qui m'ont écrit sur leur copies des choses comme
\[
\tan'(x) = \frac{1}{\cos(\cos (x))}\, \text{ ou }\, \arctan(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
\]
à cause de ce conflit entre les différentes notations.