Équation différentielle

sevaus · October 2020

Bonjour,
Je cherche à résoudre $\quad t^2 y'' + 3ty' + 5y = 0$.

En interrogeant WolframAlpha, je trouve que la solution est de la forme $y(t) = \dfrac{z(2\ln t)}{t}$ et donc que le changement d'inconnue $z(x) = \exp(\frac{x}{2})y\big(\exp(\frac{x}{2})\big)$ conclut.

Ma question est de savoir comment résoudre cette équation sans en connaître la solution. Je vois bien que l'équation est "homogène" : peut-être y a-t-il un résultat général sur ce genre d'équations ?

ev · October 2020

Difficile à dire...

C'est une équation d'Euler.
Le changement de variable $ t = \pm e^x $ permet de se ramener à une équation linéaire sur $ \R_+^* $ et sur $ \R_-^* $.

e.v.

Mickaël · October 2020

Il faudrait retrouver l'article original d'Euler, mais a mon avis il a été malin, en remarquant (comme tu dis "homogénéité") que l'équation se réécrit de façon linéaire :
$$\frac{d^2y}{(dt/t)^2}+3\frac{dy}{(dt/t)}+5y=0\,,$$
ce qui suggère de poser $x$ tel que $dx=dt/t$ i.e. $x= \log t$.

side · October 2020

supp

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