Calli: ah bien sûr! Le pire est que j'avais essayé (mais j'avais oublié que je cherchais un équivalent en l'infini et pas en zéro...). Ca me dit donc que mon intégrale est en $e^x/x$ avec un terme d'erreur en grand O de $e^x/x^2$ (évidemment on peut pousser le développement si on veut).
On peut obtenir le développement asymptotique :
$$
\rm{e}^{-x}\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t\underset{x \to+\infty }{\quad=\quad}\sum_{1\leqslant k\leqslant n}(k-1)!\frac1{x^k}+o(x^{-n})
$$ en utilisant une règle de l'Hôpital.
Prendre $f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t-\rm{e}^xP(1/x),\;g(x)=e^xx^{-n},\;n\in\N^*$
et chercher un polynôme $P$ tel que $\dfrac{f'}{g'}$ ait une limite égale à 1 en $+\infty$.
Correction : la limite 1 ne donnera qu'une précision en $x^{1-n}$.
Pour la précision $x^{-n}$ il faut chercher à obtenir une limite nulle.
Réponses
\[
\int_1^x e^t dt \sim_\infty \int_1^\infty e^t/t dt
\]
Je propose une IPP.
PS: Corto, réveille-toi. (:P)
$$
\rm{e}^{-x}\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t\underset{x \to+\infty }{\quad=\quad}\sum_{1\leqslant k\leqslant n}(k-1)!\frac1{x^k}+o(x^{-n})
$$ en utilisant une règle de l'Hôpital.
Prendre $f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t-\rm{e}^xP(1/x),\;g(x)=e^xx^{-n},\;n\in\N^*$
et chercher un polynôme $P$ tel que $\dfrac{f'}{g'}$ ait une limite égale à 1 en $+\infty$.
Correction : la limite 1 ne donnera qu'une précision en $x^{1-n}$.
Pour la précision $x^{-n}$ il faut chercher à obtenir une limite nulle.