Limite et suites d'intégrales
Bonsoir à tous , je n'arrive pas à avancer sur l'exercice suivant.
f est continue positive stricte sur [0,1], on pose u(n) la suite des intégrales sur [0,1] des puissances n-ièmes de f, et on cherche a prouver la convergence de u(n+1)/u(n) et à trouver sa limite.
Heuristiquement, puisque la suite des normes-n de f (les normes-p ou p parcourt N) tend vers sup f (je sais le prouver), je dirai que la limite cherchée est sup f bien que l'on sache qu'il n'y ait pas équivalence entre le lemme de Cauchy et celui de d'Alembert pour la convergence géométrique de suites (on a juste a(n+1)/a(n) -> L => (a(n))^(1/n) -> L ).1).
Les outils auxquels j'ai pensé sont : f est continue sur un segment donc son sup est atteint disons en x , puis on peut écrire la continuité de f en x
continuité uniforme d'après le théorème de Heine
Cauchy-Schwarz
Je n'arrive pas vraiment à conclure, j'espère que vous voudrez bien m'aider.
Au passage je me demandais si 1) admettais une réciproque partielle, par exemple sous hypothèses de monotonies ou autres.
Cordialement.
f est continue positive stricte sur [0,1], on pose u(n) la suite des intégrales sur [0,1] des puissances n-ièmes de f, et on cherche a prouver la convergence de u(n+1)/u(n) et à trouver sa limite.
Heuristiquement, puisque la suite des normes-n de f (les normes-p ou p parcourt N) tend vers sup f (je sais le prouver), je dirai que la limite cherchée est sup f bien que l'on sache qu'il n'y ait pas équivalence entre le lemme de Cauchy et celui de d'Alembert pour la convergence géométrique de suites (on a juste a(n+1)/a(n) -> L => (a(n))^(1/n) -> L ).1).
Les outils auxquels j'ai pensé sont : f est continue sur un segment donc son sup est atteint disons en x , puis on peut écrire la continuité de f en x
continuité uniforme d'après le théorème de Heine
Cauchy-Schwarz
Je n'arrive pas vraiment à conclure, j'espère que vous voudrez bien m'aider.
Au passage je me demandais si 1) admettais une réciproque partielle, par exemple sous hypothèses de monotonies ou autres.
Cordialement.
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Réponses
On sait trouver la limite de sa racine niemme (qui vaut $1$, à démontrer bien sûr). Comme cette suite est décroissante, cela donne aussi la limite du rapport de deux termes consécutifs.
Voici les détails d'un argument "élémentaire" qui établit que $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\dfrac {\int_0^1 f^{n+1}}{\int_0^1 f^n} = \|f\|_{\infty}.\:\:\:\:$Soit $\:g = \dfrac f{\|f\|_{\infty}}.\:$ Il suffit de prouver que:$$\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^{n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim}\int_0^1 g^n.$$
Soit $\varepsilon >0.\:\:$ La continuité de $g$ fait que son maximum (égal à $1$) est atteint sur $[0;1]$, et qu'il existe $\alpha>0$ et un intervalle $I$ d'amplitude $\alpha$ tels que: $\:\:\forall x\in I,\: g(x) > 1-\varepsilon, \:\: $ de sorte que: $\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^n >\alpha (1- \varepsilon)^n.\qquad (1)$
D'autre part: $\:\: \forall y \in [0;1],\: y^n(1-y) \leqslant (1-2\varepsilon)^n + 2\varepsilon y^n. \qquad (2)\quad $ On déduit:
$\displaystyle 0 \leqslant \int_0 ^1 g^n(1-g)\overset{(2)}{ \leqslant} (1-2\varepsilon)^n +2\varepsilon \int _0 ^1 g^n \overset{(1)}{\leqslant}\left( \dfrac {(1-2\varepsilon)^n}{\alpha(1-\varepsilon)^n}+2\varepsilon \right ) \int_0 ^1 g^n.\qquad $ Avec $\:\: \displaystyle \lim _{n\to + \infty} \dfrac {(1-2\varepsilon)^n}{\alpha(1-\varepsilon)^n} =0, \:$ on obtient:
$\exists N \in \N \:\:$ tel que $\:\:n\geqslant N \implies \displaystyle 0 \leqslant \int_0^1 g^n(1-g) \leqslant (\varepsilon + 2\varepsilon) \int_ 0 ^1 g^n,\quad $ ce qui assure: $\:\:\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^{n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim}\int_0^1 g^n.$
Lemme de d'Alembert =>Lemme de Cauchy.
Side je ne connais pas la méthode de Laplace , en regardant brièvement sur Wikipedia je crois seulement reconnaitre le principe d'approcher l'intégrale d'une fonction par celle de son polynôme de Taylor l'erreur étant atténuée lorsqu'en plus on a de l'exponentielle.
Bien évidemment notre fonction f n'est que continue mais par Weierstrass qui est souvent une bonne idée lorsque l'on traite des problèmes d'intégrale de suite de fonctions , on retrouve en effet ces polynômes qui sont faciles à étudier.
Je pense cependant comme vous que la preuve bien qu'intuitive serait bien trop technique pour moi tant au niveau des notations que des majorations. C'est un exercice d'oral de Centrale filière MP 2013
En vous remerciant encore pour votre aide , cordialement.