Limite et suites d'intégrales

bonjour, tu dois pouvoir écrire: $ f(x) \; = \; ||f||_{\infty} \times g(x) $ avec $0 \leq g(x) \leq 1$ et la suite $a_n \; = \; \int_0^1 g^n (x) dx $ reste à étudier.

le problème c'est qu'une fonction continue peut atteindre son maximum une infinité de fois; avec la normalisation, la suite $\int_0^1 g^n(x)dx $ converge vers 0 en décroissant (c'est du Lebesgue) et il faudrait trouver un équivalent.

Bonsoir,

Voici les détails d'un argument "élémentaire" qui établit que $\displaystyle \lim_{n\to + \infty}\dfrac {\int_0^1 f^{n+1}}{\int_0^1 f^n} = \|f\|_{\infty}.\:\:\:\:$Soit $\:g = \dfrac f{\|f\|_{\infty}}.\:$ Il suffit de prouver que:$$\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^{n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim}\int_0^1 g^n.$$
Soit $\varepsilon >0.\:\:$ La continuité de $g$ fait que son maximum (égal à $1$) est atteint sur $[0;1]$, et qu'il existe $\alpha>0$ et un intervalle $I$ d'amplitude $\alpha$ tels que: $\:\:\forall x\in I,\: g(x) > 1-\varepsilon, \:\: $ de sorte que: $\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^n >\alpha (1- \varepsilon)^n.\qquad (1)$
D'autre part: $\:\: \forall y \in [0;1],\: y^n(1-y) \leqslant (1-2\varepsilon)^n + 2\varepsilon y^n. \qquad (2)\quad $ On déduit:

$\displaystyle 0 \leqslant \int_0 ^1 g^n(1-g)\overset{(2)}{ \leqslant} (1-2\varepsilon)^n +2\varepsilon \int _0 ^1 g^n \overset{(1)}{\leqslant}\left( \dfrac {(1-2\varepsilon)^n}{\alpha(1-\varepsilon)^n}+2\varepsilon \right ) \int_0 ^1 g^n.\qquad $ Avec $\:\: \displaystyle \lim _{n\to + \infty} \dfrac {(1-2\varepsilon)^n}{\alpha(1-\varepsilon)^n} =0, \:$ on obtient:
$\exists N \in \N \:\:$ tel que $\:\:n\geqslant N \implies \displaystyle 0 \leqslant \int_0^1 g^n(1-g) \leqslant (\varepsilon + 2\varepsilon) \int_ 0 ^1 g^n,\quad $ ce qui assure: $\:\:\:\: \displaystyle \int_0 ^1 g^{n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim}\int_0^1 g^n.$

supp