Inégalité intégrale complexe

noobey · October 2020

Bonjour
Je planche sur cet exo depuis quelques jours, ça doit être simple mais j'ai pas de solution.

Soit $f$ une fonction $C^2$ de $[0,1]$ à valeurs réelles. On suppose qu'il existe $\lambda > 0$ tel que $f'' \geq \lambda$.
Montrer que $| \int_0^1 e^{if(t)}dt| \leq 8/\sqrt{\lambda}$

J'ai pensé
1) à faire un truc style formule de Taylor avec reste intégral,
2) multiplier par la forme conjuguée et essayer de voir ça comme une intégrale double...
3) voir ça comme une fonction caractéristique d'une loi uniforme.
Mais rien n'a l'air de conclure...

ev · October 2020

Bonjour noobey

Lemme de Van der Corput.

Rien de trivial là-dedans.

e.v.

zephir · October 2020

Bonjour,
Il semble que les hypothèses ne sont pas bonnes.
Il faut supposer que $\phi'\ge \lambda$ et qu'elle est monotone.
Comme l'indique le texte référencé par ev (que je salue).

noix de totos · October 2020

Il s'agit du critère de la dérivée seconde de van der Corput. Notons à ce sujet :

(i) La démonstration utilise le critère de la dérivée $1$ère (qu'il faut donc aussi établir) ;

(ii) Ce critère se généralise en le critère de la dérivée $k$ème ;

(iii) Ce critère s'étend aux intégrandes dotés d'un poids $g$ qui est une fonction à variation bornée sur $[a,b]$.

Voici une autre référence complète sur ce sujet, autre que wikipédia.