Équation différentielle avec $\sinh$
Bonjour
Je rencontre un problème avec une équation différentielle.
$$
\begin{cases}
f'(t) &=\ \sinh^2(t+f) \\
f(0)&=\ 0
\end{cases}
$$ Voilà je bloque avec le $\sinh^2$.
J'aimerais faire un changement de variable pour le ramener à $\cosh^2$ mais j'ai essayé avec la formule $1=\cosh^2 +\sinh^2$ et cela ne m'avance pas à grand chose.
Si quelqu'un a une idée je suis preneur !
Bien cordialement.
Je rencontre un problème avec une équation différentielle.
$$
\begin{cases}
f'(t) &=\ \sinh^2(t+f) \\
f(0)&=\ 0
\end{cases}
$$ Voilà je bloque avec le $\sinh^2$.
J'aimerais faire un changement de variable pour le ramener à $\cosh^2$ mais j'ai essayé avec la formule $1=\cosh^2 +\sinh^2$ et cela ne m'avance pas à grand chose.
Si quelqu'un a une idée je suis preneur !
Bien cordialement.
Réponses
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Le changement de fonction inconnue $g(t)=f(t)+t$ me paraît utile.
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Bonjour
Oui pardon j'ai bien essayé avec $1= \cosh^2- \sinh^2$ je me suis trompé en écrivant !
Je vais essayer avec cette indication merci !
$g(t)=f(t)+t$
$g'(t)=f'(t)$
Or $f'(t) = \sinh^2(t+f)$
donc $g'(t)= \sinh^2(g(t))$
Ce qui veut dire qu'on arrive à $\dfrac {g'(t)}{g(t)} = \sinh^2$ ? -
Oui excusez moi j'ai pris $+t$ comme une constante !!
Mais on a :
$g(t)=f(t)+t$
$g'(t)= f'(t) +1 $
d'où $g'(t) -1 = sin h^2(g(t))$
donc $\frac {g'(t)}{g(t)} = sinh^2 +1$
D'où $\frac {g'(t)}{g(t)}= cosh^2$
Du coup maintenant il faut que je trouve la primitive de $cosh^2$
Parce que je sais qu'une primitive de $cosh$ est $sinh$ mais ici j'ai $cosh^2$
Donc si j'essaye par la définition : $cosh= \frac { e^x + 2 + e^{-x}}{2}$
D'où, $cosh^2= \frac { e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$ -
C'est une composée !!! Pas un produit !
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Ah !
Mais du coup quand je suis à $g'(x) +1 = sinh^2(g(t))$ comment je fais pour arriver à obtenir $\frac {g'(x)}{g(x)}$ s'il vous plaît ? -
Mais tu ne peux pas obtenir $\frac {g'(x)}{g(x)}$ !
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Corentin, si $g'(t) = f(g(t))$, de façon générale, tu peux te ramener à l'expression de la dérivée d'une fonction composée (mais pas en faisant n'importe quoi !) en effectuant "la bonne opération".
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CorentinD tu as écrit deux fois quelque chose qui ne signifie rien pour personne (on divise le réel $\sinh^2g(t)$ par $g(t)$ et on trouve $\sinh^2$ qui n'est pas un réel comme le précédent mais une fonction) mais qui pour toi veut dire quelque chose de scandaleusement faux : \[\dfrac{\sinh^2g(t)}{g(t)}=\sinh^2t.\]C'est incroyable.
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En fait je voulais faire $\frac {g'(t)}{g(t)} $ parce que je veux trouver la solution homogène et j'ai toujours fait comme ça.
L'expression de la dérivée c'est :
$(g\circ f)' = (g' \circ f ) . f'$
Si j'ai $g'(t) = f \circ g(t) $ je ne vois pas comment arriver à ci dessus
Oui j'ai compris que ce que j'avais écrit été faux on me l'a déjà fait remarqué plusieurs fois. Mais si je ne faisais pas d'erreur et si j'avais tout compris je ne serais pas en train de demander de l'aide... . Maintenant, j'essaye de m'exercer sur des exercices qui me mettent en difficulté et c'est pour cela que les notions sont encore instables et je fais des erreurs qui paraissent "incroyables". -
Si tu avais à résoudre $f'(t)=t\bigl(f(t)^2+1\bigr)$, comment ferais-tu ?
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E fait je n'arrive pas à voir parce que mon membre de gauche n'est pas une composée.
Mais autrement si je prends un exemple :
$f : x \mapsto 2x$ et $f'(x)=2$
$g : X \mapsto \sin(X)$ et $g'(X)= \cos(X)$
alors $g \circ f = g' \circ f(x) . f'(x) = \cos( 2x) . 2 $
Mais dans mon cas je n'y arrive pas. -
Eh bien, il faut procéder différemment. L'équation (la « mienne ») est équivalente à \[\frac{f'(t)}{1+f(t)^2}=t.\] En intégrant à partir d'un point $t_0$ quelque part, on obtient \[\arctan f(t)-\arctan f(t_0)=\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2},\] et c'est essentiellement fini.
PS : Là, c'est mal, je cache l'idée, qui est de séparer les variables... Mais quelles variables ? Il vaut mieux écrire, à la physicienne, $y=f(t)$, de sorte que $f'(t)=\mathrm{d}y/\mathrm{d}t$, ce qui donne de façon informelle : \[\frac{\mathrm{d}y}{1+y^2}=t\,\mathrm{d}t,\]d'où \[\arctan y-\arctan y_0=\frac{t^2}{2}-\frac{t_0^2}{2}.\] -
Oui d'accord j'ai compris ce que vous avez fait, merci !
Si maintenant je reviens à l'exercice, on avait :
$g'(t) - 1 = \sinh^2(g(t))$ donc $g'(t)= \sinh^2(g(t)) +1$
et je ne suis pas sous la forme $f'(t) = t (f(t) ^2 +1) $ donc je ne peux pas faire comme vous m'avez expliqué. -
C'était un autre problème que j'ai présenté, pour dire que dès qu'on peut « séparer les variables » dans une équation différentielle, on a presque gagné.
Dans ton cas, il s'agit d'écrire $\dfrac{g'(t)}{\sinh^2g(t)+1}=1$ (de simplifier) et d'intégrer. -
Ah oui je commence à voir où vous voulez m'emmener.
Si je pose par exemple $u=g(t)$ donc $du= g'(t)dt $
$\displaystyle \int \frac{ g'(t)}{\sinh^2g(t) +1} dt ,\ $ revient à $\quad\displaystyle \int \frac {du}{\sinh^2(u) +1} = \frac {du}{\cosh^2(u)} = \tanh(u)$
D'où $\displaystyle \int \frac{ g'(t)}{\sinh^2g(t) +1} dt = \tanh\big(g(t)\big)$
Mais du coup je suis un peu désorienté par rapport à la méthode que j'utilise.
Est-ce la solution homogène ? Où est-ce que j'ai résolu le système ? -
À ma connaissance, on ne parle de solution homogène que pour des équations linéaires, ce que ton équation n'est pas du tout. On parle aussi plutôt de problème de Cauchy plutôt que de système (il n'y a qu'une équation avec une condition de Cauchy).
Que fais-tu te l'autre côté de l'égalité ? N'as-tu pas oublié qu'il peut y avoir des constantes d'intégration ? Une fois qu'on a la/toutes les fonction/s $g$, comment revenir à $f$ ? -
Oui exacte !
On a : $\displaystyle \int \frac{ g'(t)}{\sinh^2g(t) +1} dt = \tanh\big(g(t)\big) + c $ avec c une constante, $ c\in R$
Rappelons nous, on avait, $\displaystyle \int \frac{ g'(t)}{\sinh^2g(t) +1} dt = \int 1 dt$
D'où $\tanh\big(g(t)\big) + c = t+d$ avec $d\in R$
On se rappelle qu'on avait posé : $g(t) = f(t) +t $
D'où , $\tanh\big(f(t) +t \big) + c = t+d$ -
Ça avance ! Tu peux unir les deux constantes d'intégration en une (qu'est-ce que ça veut dire ?) et terminer en exprimant $f(t)$ en fonction de $t$.
-
D'accord !
$\tanh(f(t) +t) + e= t$ avec $e=c-d \in \R$
Mais là j'ai encore une composition et comment je peux "sortir" $f(t)$ ?
Il faudra aussi que je me serve de la condition initiale pour conclure. -
Regarde le graphe de $\tanh$ : est-ce qu'il ressemble à celui d'une bijection ? Si oui, tu es le roi du monde.
-
Sa restriction à $\R$ est une bijection strictement croissante de $\R$ dans $[-1,1]$
Donc cela veut dire que $\tanh(t) \circ (f(t)+t) = Id\ $ et $\ (f(t)+t) \circ \tanh(t)=Id$ ? -
Ouille. Quel pourrait être le réel $x$ qui a pour image $1$ ? Quelle serait l'image de $x+1$ alors par cette application strictement croissante ?
Visiblement un problème bien ancré pour distinguer fonctions et réels. Tout à l'heure tu écrivais $\sinh$ pour désigner un réel, maintenant tu écris $\tanh t$ ou $f(t)+t$ pour une fonction et tu composes deux fonctions. Pas clair, tout ça, non ?
Pour avancer un peu : si tu sais que la tangente hyperbolique est une bijection de $\R$ sur un ensemble à préciser, tu dois connaître sa bijection réciproque, non ? Comment l'utiliser pour exprimer $f(t)$ en fonction de $t$ et $e$ ? Pour finir, pour quelle valeur de $e$ a-t-on $f(0)=0$ ? -
$\newcommand{\arctanh}{\mathop{\mathrm{arctanh}}}$Lorsque x tend vers l'infini alors tanh(x)=1
Je reprends :
La tangente hyperbolique est une bijection de $R$ dans $]-1,1[$.
Sa bijection réciproque est $\arctanh$.
$\arctanh(\tanh(f(t)+t) +e) = \arctanh(t)$
Donc $f(t)+t + \arctanh(e) = \arctanh(t)$
D'où $f(t) = \arctanh(t)- t - \arctanh(e)$
$f(0)= 0-0 - \arctanh(e)$
Donc pour que $f(0) = 0$ alors $e = 0$. -
Tu penses vraiment que $\newcommand{\arctanh}{\mathop{\mathrm{arctanh}}}\arctanh(a+e)=\arctanh(a)+\arctanh(e)$ ?
(Ici, $a=\tanh(f(t)+t)$ mais peu importe.) -
Ah oui je n'ai pas trouvé pour $\arctanh(a+e)$
Mais $\tanh(a+e)= \frac {\tanh(a)+ \tanh(e)}{1+ \tanh(a)\tanh(e)}$ -
Corentin, quel est ton niveau d'étude ?
-
En Licence 2 mais je n'ai jamais réellement vu en détail les fonctions hyperboliques d'où mes erreurs et mes hésitations
Je n'ai pas trouvé la formule pour $\arctanh(a+e)$ -
D'accord, mais dans le cas général on évite d'écrire l'égalité $f(t+s) = f(t) + f(s)$ quels que soient les réels $s$ et $t$, car c'est une propriété très particulière.
PS : sur Wilipédia, on trouve en général son bonheur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique: -
Oui vous avez raison !
Sur lien donné,
j'ai donc trouvé que $\arctanh (x )= \frac{1}{2} \ln (\frac {1+x}{1-x})$
Est-ce que cela veut dire que $\arctanh (a+e) = \frac{1}{2} \ln (\frac {1+ (a+e)}{1-(a+e)})$ je ne sais pas si c'est correct mais j'ai essayé de tenter. -
Tu ne sais donc vraiment pas ce qu'est une fonction !!
Depuis le début, on te fait des remarques sur le fait que tu confonds les écritures $f$ et $f(x)$... mais cela s'explique maintenant.
Pour faire simple, une fonction est un "objet mathématique" qui à un élément $x$ pris dans un ensemble donné (appelé "ensemble de départ de la fonction $f$") associe un autre objet $y$ dans un autre ensemble donné (appelé "ensemble d'arrivée de la fonction $f$").
Ici, tu as affaire à des fonctions de $\R$ dans $\R$, et en plus, elles ont le bon goût d'avoir une "expression simple" dans le sens où si l'on te donne la valeur de $x$, tu peux calculer $f(x)$ au moyen de fonctions usuelles (additions, soustractions, multiplications, mais aussi logarithme ou autres).
Évidemment, si tu sais que pour TOUT $x$ la valeur de $f(x)$ est (par exemple) $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ alors EN PARTICULIER pour $a+e$, $f(a+e)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+(a+e)}{1-(a+e)}\right)$.
C'est immédiat par définition d'une fonction... et ça n'a rien de spécifique à la fonction "argument tangente hyperbolique". -
Oui exact, je sais que j'ai du mal encore avec ça et surtout dans la rédaction qui est souvent peu rigoureuse. C'est pourquoi je vous remercie de corriger et me reprendre car cela m'aide !
Je suis d'accord avec vous, vu avec du recul, il n'y a rien de spécifique avec les fonctions hyperboliques, mais je les ai tellement peu utilisées que je suis vite "chamboulé". Mais cela n'excuse rien !
Si je reprends.
$\arctanh(\tanh\big(f(t+t)+ e\big) = \arctanh(t)$
Or $\arctanh(\tanh\big(f(t+t)+ e\big) = \frac {1}{2} \ln\Big( \frac{1+ \tanh\big(f(t)+t\big) +e}{1- \tanh\big(f(t)+t)+e}\Big).$
D'où $\frac {1}{2} \ln\Big( \frac{1+ \tanh\big(f(t)+t\big) +e}{1- \tanh\big(f(t)+t\big)+e}\Big) = \arctanh(t)$
Mais on n'a toujours pas extrait $f(t)$. -
J'ai réfléchi et je pense tourner en rond ...
Parce que là si je fais l'exponentielle je vais encore avoir des $\tanh\big(f(t)+t\big)$ alors que justement j'avais fait la réciproque de $\tanh$ pour extraire $f(t)$ et pouvoir écrire $f(t)$ en fonction de $t$ !
Du coup je suis bloqué à :
$\arctanh\big(\tanh(f(t)+t)+e\big)= \arctan(t)$.
Edit : j'avais oublié le $e$. -
Si $f$ est bijective de $A$ dans $B$ et $g$ est la réciproque de $f$ alors pour tout $t\in A$, $g(f(t))=t$ par définition !
Tu peux donc simplifier ton expression ! -
Exact !
Mais j'avais oublié le $e$ dans mon expression du coup je reprends d'un peu plus haut.
On avait $\tanh(f(t)+t) +e = t$.
Donc $\tanh(f(t)+t) = t-e$ (ce qui est plus malin).
Donc $\arctanh(\tanh(f(t)+t)= \arctanh(t-e)$.
Donc $f(t)+t = \arctanh(t-e)$.
D'où, $f(t) = \arctanh(t-e) - t $.
Avec ma condition initiale qui est $f(0)=0$ je dois déterminer $e$.
$f(0) = 0$
$\arctan(0-e)- 0 =0 $
$\arctan(-e) = 0$ donc $e=0$
Conclusion. $\quad f(t) = \arctanh(t) - t.$
À confirmer ! -
Bonjour,
Comment on résout
$$
y'(t)= \tanh(y(t))
$$ et $y(0)=y_{0} \in \mathbb{R}$. Avec $\tanh$ la tangente hyperbolique.
En général pour résoudre des ED j'essaye de diviser et de reconnaître une dérivée connue pour intégrer et avoir une forme close. Ici je ne reconnais pas de trucs que je connais. J'ai regardé sur internet et petite piqûre de rappel la $\cosh' = \sinh$. Mais ici ça ne m'a pas aidé. -
Je le fais comme un bourrin (me rappelle plus les différentes techniques...)
de $y'(t)= \tanh(y(t))$ on déduit $y'(t)\coth(y(t))=1$ où $\coth$ est la cotangente hyperbolique ($1/\tanh$).
Or $\coth(t)=\dfrac{\cosh(t)}{\sinh(t)}$ et la primitive de $\coth$ est donc $\ln(\sinh(t))$.
De là la primitive de $y'\coth(y)$ qui est $\ln(\sinh(y))$ etc. facile de terminer.
Edit : Il faut remplacer "la primitive" par "une primitive"... -
bonsoir
$f'(t) = sh^2(t + f)$ avec f(0) = 0
le changement de fonction g(t) = f(t) + t est le bon : il vient g'(t) = f'(t) + 1 et aussi g(o) = 0
l'équation différentielle devient g'(t) - 1 = sh²(g(t)) soit $g'(t) = ch^2(g(t))$ (cosinus hyperbolique au carré)
$\frac{g'(t)}{ch^2(g(t))} = 1$ que tu sait intégrer : $th(g(t)) = t + k$ avec th (tangente hyperbolique) et k constante d'intégration
tu sais que g(0) = 0 et donc k = 0
et en inversant la relation en th(g(t)) il vient $g(t) = \frac{1}{2}ln\frac{1+t}{1-t}$ avec -1 < t < 1 et donc :
$$f(t) = \frac{1}{2}ln\frac{1+t}{1-t} - t$$
fonction impaire et croissante pour - 1 < t < 1
cordialement -
Merci Raoul.S (:D
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