Inclusion d'intersection infinie

Soit $ E $ un espace de Banach, $\ T: E \rightarrow E $ une fonction, et $ \{x_n \}_{n \in \mathbb N} $ tel que $$ x_ {n + 1} = T ( x_n), \quad \forall n \in \mathbb {N}.

$$ Soit $ X_n = \overline{\text {Conv}} \{x_n, x_{n + 1} ,\ldots \}. $
Je veux prouver que $$ T \Big (\bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n \Big) \subseteq \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n.
$$
J'ai commencé la preuve, en prenant $y\in T \big (\bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n \big),$ donc $\exists x\in \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n $ tel que $y=T(x)$.
Puisque $x\in \bigcap_{n = 0} ^ {+ \infty} X_n $ , alors $x\in X_n ,\ \forall n.$

Après, le fait que $x\in X_n $ veut dire implique que pour n'importe quel $\epsilon >0,$ il existe $u\in \text {Conv} \{x_n, x_{n + 1}, \ldots \}$ vérifiant $\|x-u\|<\epsilon$.

Je ne suis pas arrivé à terminer la démonstration jusqu'au bout, même en explicitant le fait que $u\in \text {Conv} \{x_n, x_{n + 1},\ldots \}$.
De l'aide SVP !