Des p'tites nouvelles et une intégrale
dans Analyse
Bonjour tout le monde !
Je profite de ce fil pour donner de mes nouvelles. Sur le plan familial c’est le bonheur, ma fille Violette a décidé de grandir bien plus vite que je ne l’imaginais et elle est merveilleuse. J’ai déménagé dans un appartement plus grand et nous sommes heureux de ce confort nouveau. Sur le plan professionnel, mon nouveau métier de professeur me donne BEAUCOUP de fil à retordre. J’ai pensé à abandonner plusieurs fois, je l’aurais surement fait si je n’étais pas responsable de ma famille. Sur le plan mathématique, c’est le calme plat à mon grand regret, je ne trouve pas l’énergie ni le temps. En fait je m’y suis remis hier avec un peu d’intégration et j’ai pu constater à quel point tout s’oublie vite lorsque l’on ne pratique pas. Pour vous donner un exemple, je suis bloqué depuis hier (sans avoir trop forcé non plus) sur le calcul de \[\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt. \]
Paul Erdös aurait déclaré que l’on devenait sénile dès lors que l’on commençait à oublier ses théorèmes. Arf !!! Me voilà embêté !
Mais bon, j’ai le moral et c’est ce qui compte. Portez-vous bien !
Je profite de ce fil pour donner de mes nouvelles. Sur le plan familial c’est le bonheur, ma fille Violette a décidé de grandir bien plus vite que je ne l’imaginais et elle est merveilleuse. J’ai déménagé dans un appartement plus grand et nous sommes heureux de ce confort nouveau. Sur le plan professionnel, mon nouveau métier de professeur me donne BEAUCOUP de fil à retordre. J’ai pensé à abandonner plusieurs fois, je l’aurais surement fait si je n’étais pas responsable de ma famille. Sur le plan mathématique, c’est le calme plat à mon grand regret, je ne trouve pas l’énergie ni le temps. En fait je m’y suis remis hier avec un peu d’intégration et j’ai pu constater à quel point tout s’oublie vite lorsque l’on ne pratique pas. Pour vous donner un exemple, je suis bloqué depuis hier (sans avoir trop forcé non plus) sur le calcul de \[\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt. \]
Paul Erdös aurait déclaré que l’on devenait sénile dès lors que l’on commençait à oublier ses théorèmes. Arf !!! Me voilà embêté !
Mais bon, j’ai le moral et c’est ce qui compte. Portez-vous bien !
Réponses
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la présence de $\dfrac{1}{1+t^2}$ en facteur laisse penser qu'on aurait intérêt à faire le changement de variable $t=\tan x$.
-
Bonjour B&B
Essaye
$$
\frac{1}{(1+t^2)^2} = \frac{1+t^2}{(1+t^2)^2} - \frac{t^2}{(1+t^2)^2}.
$$
Bonne journée -
SchumiSutil:
Comment calcules tu $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$? -
En intégrant par parties bien sûr.
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Merci Fin de Partie et Schumi. J’y arrive avec le plus moins $t^2$ mais pas avec le changement de variable. Je trouve comme résultat $\pi /8 + 1/4$. Si vous êtes d’accord, tant mieux, sinon j’écrirai ce que j’ai fait pour dénicher l’erreur. Au fait, si les modérateurs pensez que ça vaut la peine d’ouvrir un autre fil pour ne pas polluer celui-là pourquoi pas.
-
SchumiSutil: Oui, bien sûr. J'imagine que le $x^2$ au dénominateur m'a perturbé.
Je ne voyais pas qu'il fallait inclure un facteur $x$ dans la fonction dont on cherche une primitive. :-D
Un esclave logiciel donne directement une primitive. B-)- -
Et du coup quelqu’un voudrait-il bien éclairer ma lanterne pour la version changement de variable s’il vous plaît ? Si vous avez des intégrales un peu « gentilles » comme celle là (disons pas de résidus et autres complexeries) je suis preneur.
Merci ! -
Si tu poses $t = \tan x$, tu as $\mathrm{d}t = (1+\tan(x)^2)\mathrm{d}x$, et donc tu arrives à l'intégrale $$\int_0^{\pi/4} \frac{\mathrm{d}x}{1+\tan(x)^2} = \frac{\pi}{4} - \int_0^{\pi/4} \frac{\tan(x)^2}{1+\tan(x)^2} \,\mathrm{d}x.$$ Il n'y a plus qu'à changer le $\frac{1}{1+\tan(x)^2}$ en $\cos(x)^2$ et laisser la magie opérer.
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Boole et Bill:
Si on fait le changement de variable $t=\tan x$ l'intégrale devient, sauf erreur, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx$ il ne reste plus qu'à linéariser l'intégrande.
PS:
$\displaystyle \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1$ donc: $\displaystyle\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ -
Je ne comprends pas trop ce fil. Dans le cours de mathematiques de premiere annee de l'enseignement superieur, il y a deux sections qui s'appellent l'une primitive d'une fraction rationnelle et l'autre reduction de certaines primitives a des primitives de fractions rationnelles, qui classe celles ci en quqtre ou cinq types en donnant les changements de variables canoniques. Pourquoi reposer des questions dont la reponse est dans le cours?
-
P.
Pourquoi poser une question dont la réponse est sûrement quelque part écrite dans un coin du world wide web?
A l'heure d'internet est-il encore pertinent de poser des questions? :-D -
Salut la compagnie. Je poursuis mon chemin dans la forêt de l’intégration et au pied d’un saule j’ai trouvé celle-ci : \[ \int_1^2 \frac{t-2}{\sqrt{t^2-1}}dt .\]
Sauriez-vous m’aider afin que je puisse atteindre la clairière voisine ? Merci. -
Tu la décomposes en deux.
$\displaystyle \int_1^2 \frac{t-2}{\sqrt{t^2-1}}dt=\int_1^2 \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt-2\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt$
La première se calcule facilement.
La deuxième il faut obtenir $\sqrt{1-t^2}$ au dénominateur donc on fait le changement de variable $u=1/t$
La suite c'est cousu de fil blanc. -
P. écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2116888,2117070#msg-2117070
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Type 4, primitive de $R(t, \sqrt{at^2+bt+c})$ ou $R$ est une fraction rationnelle de deux variables. Allez B and B, au boulot, à tes bouquins. Surtout pas d'astuce, de la technique. -
Boole et Bill, comment cela se passe pour toi, en tant qu'enseignant ? Quelles sont tes difficultés ?
-
Merci FdP, et merci du conseil P. Pour ce qui est de ma condition d’enseignant Zestiria, ce qui me donne le plus de fil à retordre est la gestion de classe, bien trop souvent chaotique. Du coup ça ne se passe pas super bien mais je m’accroche !
-
bonsoir
soit l'intégrale $I = \int_1^2\frac{t-2}{\sqrt{t^2 - 1}}dt$
tu poses t = chx (cosinus hyperbolique de x)
et donc dt = shx. dx et ton intégrale devient :
$I = \int_0^{ln(2+\sqrt{3})}\frac{chx - 2}{chx}.chx.dx = [shx - 2x]$
à calculer de 0 à $ln(2+\sqrt{3})$
soit $I = (2 + \sqrt{3})/2 - (2 - \sqrt{3})/2 - ln(2+\sqrt{3})$
$I = \sqrt{3} - ln(2+\sqrt{3})$
résultat négatif
cordialement -
Bonjour,
Petite erreur à la fin : $I=\sqrt 3-2\ln(2+\sqrt 3)$.
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Bonjour!
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