Cotangente sous forme intégrale

bonjour

pour que ton intégrale converge il faut supposer z variable complexe de module strictement inférieur à 1
je te propose une démonstration avec la variable x réelle :

tu pars de la transformée de Laplace de la fonction $t^x$
avec t variable d'intégration et x variable réelle comprise entre - 1 et 1 soit :

$$\int_0^{+oo}e^{-pt}t^x.dt=\frac{\Gamma(1+x)}{p^{x+1}}$$

avec $\Gamma(1+x)$ fonction eulérienne Gamma

p étant entier naturel, en sommant à l'infini chaque membre de l'identité
tu en déduis l'intégrale génératrice :

$\int_0^{+oo}\frac{t^x}{e^t - 1}dt = Z(x+1).\Gamma(1+x)$

avec Z(1+x) fonction Zéta de Riemann

pour x entier naturel égal à n il vient : $\int_0^{+oo}\frac{t^n}{n!}\frac{dt}{e^t - 1} = Z(n+1)$

si n est entier impair en sommant de 0 à +oo chaque membre de l'identité avec 0 < x < 1
(en reconnaissant le développement en série du sinus hyperbolique sh(tx)) il vient :

$\int_0^{+oo}\frac{sh(tx)}{e^t - 1}dt = xZ(2) + x^3Z(3) + x^5Z(4) + ....... + x^{2n-1}.Z(2n) +......$

au second membre tu reconnais le développement en série d'une fonction liée au produit eulérien

$\frac{sin(\pi.x)}{\pi.x} = (1-x²)(1-x²/2²).......(1-x²/n²).....$

(et obtenue après dérivation du logarithme de chaque membre)

finalement : $$\int_0^{+oo}\frac{sh(tx)}{e^t - 1}dt = \frac{1}{2x} - \frac{\pi}{2tan(\pi.x)}$$

cordialement