Je suppose que $x$ et $y$ sont des reels) C'est faux car en general car $e^{ix}$ et $ e^{iy}$ ne commutent pas, meme si $x=y.$ Une maniere de le voir en utilisant $ij=k=-ji$ est de faire un developpement de Taylor a l'ordre 2 $$e^{ix}e^{iy}\equiv(1+ix-\frac{x^2}{2})(1+jy-\frac{y^2}{2})\equiv 1+ix+jy-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+kxy$$ qui n'est point egal a $1+ix+jy-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}-kxy.$
Je crois que quand on dit "presque partout", c'est qu'on a défini une mesure et que propriété n'est fausse que sur une partie de mesure nulle. Je ne suis pas super à l'aise avec la notion de mesure (surtout que je n'ai jamais pris le temps de l'étudier) et je ne suis super motivé pour attaquer franchement ton problème.
Cependant, je partage ce que je ressens à vue de nez:
Je suppose que la définition de la mesure sur $\mathbb{H}$ vient de l'écriture de chaque quaternion sous la forme $x=a+bi+cj+dk, (a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4$ et de l'utilisation de la mesure de Lebesgue "canonique" de $\mathbb{R}^4$. Tu notes qu'on peut aussi associer une topologie de la distance qui est "connectée à cette mesure" (les ouverts non vide sont de mesure non nulle, la fermeture d'une partie a l'air d'être de même mesure que la partie - edit: ça c'était une grosse boulette et je crois que la fermeture d'un ensemble de mesure non nulle contient un ouvert non vide...).
Puis on associe à $\mathbb{H}^2$ la topologie produit et la "mesure produit" (entre guillemets, je ne suis pas sûr que ce soit l'expression associée).
À mon avis (je n'ai pas tenté et comme le reste, ça peut être complétement faux):
- l'ensemble des couples $(x,y)\in \mathbb{H}^2$ tel que la propriété $A(x,y)$ définie par "$e^{ix}e^{jy}\neq e^{ix+jy}$" est dense dans $\mathbb{H}^2$.
- Chaque élément qui vérifie $A$ a un voisinage d'élément qui vérifie $A$ (l'ensemble des éléments qui vérifient $A$ est un ouvert de la topologie de $\mathbb{H}^2$).
Si tout ça est vrai, ça impliquerait, en faisant appel au fait que la topologie est séparée, que ce serait, au contraire, la propriété $A$ qui serait vrai presque partout.
Je le répète, il ne s'agit que de présomptions, je n'ai rien vérifié et les histoires d'association d'une mesure et une topologie, je les sors de nulle part (je suis persuadé que ça a été proprement défini, mais je ne suis pas assez savant pour le certifier).
Réponses
Je savais ce que tu as montionné. Ma question est la suivante: peut on avoir l'égalité prèsque partout ?
Je crois que quand on dit "presque partout", c'est qu'on a défini une mesure et que propriété n'est fausse que sur une partie de mesure nulle. Je ne suis pas super à l'aise avec la notion de mesure (surtout que je n'ai jamais pris le temps de l'étudier) et je ne suis super motivé pour attaquer franchement ton problème.
Cependant, je partage ce que je ressens à vue de nez:
Je suppose que la définition de la mesure sur $\mathbb{H}$ vient de l'écriture de chaque quaternion sous la forme $x=a+bi+cj+dk, (a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4$ et de l'utilisation de la mesure de Lebesgue "canonique" de $\mathbb{R}^4$. Tu notes qu'on peut aussi associer une topologie de la distance qui est "connectée à cette mesure" (les ouverts non vide sont de mesure non nulle, la fermeture d'une partie a l'air d'être de même mesure que la partie - edit: ça c'était une grosse boulette et je crois que la fermeture d'un ensemble de mesure non nulle contient un ouvert non vide...).
Puis on associe à $\mathbb{H}^2$ la topologie produit et la "mesure produit" (entre guillemets, je ne suis pas sûr que ce soit l'expression associée).
À mon avis (je n'ai pas tenté et comme le reste, ça peut être complétement faux):
- l'ensemble des couples $(x,y)\in \mathbb{H}^2$ tel que la propriété $A(x,y)$ définie par "$e^{ix}e^{jy}\neq e^{ix+jy}$" est dense dans $\mathbb{H}^2$.
- Chaque élément qui vérifie $A$ a un voisinage d'élément qui vérifie $A$ (l'ensemble des éléments qui vérifient $A$ est un ouvert de la topologie de $\mathbb{H}^2$).
Si tout ça est vrai, ça impliquerait, en faisant appel au fait que la topologie est séparée, que ce serait, au contraire, la propriété $A$ qui serait vrai presque partout.
Je le répète, il ne s'agit que de présomptions, je n'ai rien vérifié et les histoires d'association d'une mesure et une topologie, je les sors de nulle part (je suis persuadé que ça a été proprement défini, mais je ne suis pas assez savant pour le certifier).
Bon courage.
Eee oui ! je parle de la mesure de Lebesgue. Je cherche à passer au égalité sous le signe somme: