Exercice série à termes positifs

Sinon, on peut s'épargner la partie brouillon en trouvant un équivalent de $A_{n+1}^{1/\alpha} - A_n^{1/\alpha}$ avec $\alpha$ indéterminé, et trouver après coup quel $\alpha$ pourrait bien nous être utile.

20100N a écrit:

Le passage discret -> continue avec l'interprétation en dérivée discrète doit cependant faire son effet auprès des examinateurs.

Oui, c'est très classe !

Finalement, j'ai trouvé la démonstration. Si ça intéresse quelqu'un, je peux l'écrire.

Soit $b_n=a_n^2$, et $A_n=\sum_{k=0}^n a_n^2$. Alors $A_n$ est croissante, donc admet une limite finie ou tend vers l'infini.
Si $A_n$ admet une limite finie alors $a_n^2$ tend vers $0$, donc $a_nA_n$ tend vers $0$. Contradiction.
Donc $A_n$ tend vers l'infini.
$a_nA_n$ est équivalent à $n$, donc $a_n^2 A_n^2$ est équivalent à $n^2$. Donc $b_n A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $b_n$ est équivalent à $\frac{n^2}{A_n^2}$.
La série $\sum b_k$ tend vers l'infini, donc $\sum_{k=0}^n b_k$ est équivalent à $\sum_{k=0}^n \frac{k^2}{A_k^2}$.
Donc $A_n$ est équivalent à $\sum_{k=0}^n \frac{k^2}{A_k^2}$, qui est supérieur à $C_n=\frac{1}{A_n^2}\sum_{k=0}^n k^2$ car $A_n$ est croissante.
$C_n$ est équivalent à $\frac{n^3}{3A_n^2}$.
De $\liminf A_n/ C_n \geq 1$, on déduit $\liminf 3A_n^3/n^3 \geq 1$, donc $\liminf A_n/n \geq \frac{1}{^3\sqrt{3}}$.
Donc $b_n$ est bornée, car $b_n A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $A_n$ est équivalent à $A_{n-1}$.
Ensuite, on fait une sommation d'Abel.
$b_nA_n^2$ est équivalent à $n^2$, donc $(A_n-A_{n-1}) A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $A_n^3 - \sum A_{k-1}(A_k^2-A_{k-1}^2)$ est équivalent à $n^3/3$. (1)
$A_k^2-A_ {k-1}^2= (A_k-A_{k-1})(A_k+A_{k-1})$ est équivalent à $2b_kA_k$.
Donc $\sum A_{k-1}(A_k^2-A_{k-1}^2)$ est équivalent à $ \sum 2b_k A_k^2$, qui est équivalent à $\sum 2k^2$, autrement dit à $2n^3/3$.
Donc, d'après (1), $A_n^3$ est équivalent à $n^3$.
Donc $a_n$ tend vers $1$.

supp

supp

C’était un exo de Centrale posé en quelle filière ? Année ?