Exercice série à termes positifs
Bonsoir, soit : an une suite de réels strictement positifs
An la suite des sommes partielles de la série des an2
On suppose que anAn -> 1.
Il faut montrer que la série des an2 diverge (facile) puis déterminer un équivalent de an.
J'ai essayé beaucoup de choses mais impossible de dégager d'information suffisante (ou alors je ne le vois pas) sur an ou An.
Si vous pouviez me donner une piste pour que je puisse faire l'exercice seul, je vous en serais reconnaissant.
Cordialement.
An la suite des sommes partielles de la série des an2
On suppose que anAn -> 1.
Il faut montrer que la série des an2 diverge (facile) puis déterminer un équivalent de an.
J'ai essayé beaucoup de choses mais impossible de dégager d'information suffisante (ou alors je ne le vois pas) sur an ou An.
Si vous pouviez me donner une piste pour que je puisse faire l'exercice seul, je vous en serais reconnaissant.
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Raisonnement heuristique au brouillon : Remplaçons $A_n$ par $f(n)$ une fonction "imaginaire" : on fait comme si notre suite était une fonction et on exploite ce qu'on sait sur les fonctions. De plus, remplaçons $a_n^2$ par $f'(n)$ (donc on suppose $f$ dérivable). En effet, intuitivement $a_n^2 = A_n-A_{n-1}$ est une sorte de dérivée discrète de $A_n$. Et on fait comme si on a une égalité à la place de la limite, donc $a_nA_n \to 1$ devient $\sqrt{f'(x)}f(x) =1$. Résous ça et trouve un équivalent de $f$ en $+\infty$. Tu devrais trouver $f(x) \sim cx^\alpha$ avec un certain $\alpha$. Ainsi, on conjecture $A_n \sim cn^\alpha$.
Au propre : On oublie cette histoire super pas rigoureuse de $f$, mais on garde en tête la conjecture faite. Trouve un équivalent de $A_{n+1}^{1/\alpha} - A_n^{1/\alpha}$, puis déduis-en un équivalent de $A_n$. Ainsi, tu obtiendras un équivalent de $a_n$.
Merci Calli pour ces explications très claires, il semble que la technique attendue pour cet exercice d'oral de Centrale est sûrement la fameuse " trouver x tel que An+1^x-An^x tende vers une limite finie non nulle ", puis appliquer le lemme de l'escalier ou plutôt l'équivalence des sommes partielles de série à termes positifs équivalent puisque Cesàro n'est pas officiellement au programme bien que facile à redémontrer le jour de l'oral. Le passage discret -> continu avec l'interprétation en dérivée discrète doit cependant faire son effet auprès des examinateurs.
Pour ce qui est de l'exercice l'équation différentielle se résout par séparation des variables, et le résultat final est : an équivalent à (3/n)^1/3
Encore merci
Est-ce qu'avec la même méthode, on pourrait montrer: si $a_n A_n$ est équivalent à $n$, alors $a_n$ tend vers $1$ ?
Je ne sais pas si c'est vrai.
J'ai eu beau le tourner dans tous les sens, je n'ai pas réussi à conclure sans utiliser l'hypothèse supplémentaire $\frac{a_n^2}{A_n}\rightarrow 0$ (qui est équivalente à $a_n=o(n^{1/3})$ ou encore à $A_n\sim A_{n-1}$ ou $a_n\sim a_{n-1}$).
Si $A_n$ admet une limite finie alors $a_n^2$ tend vers $0$, donc $a_nA_n$ tend vers $0$. Contradiction.
Donc $A_n$ tend vers l'infini.
$a_nA_n$ est équivalent à $n$, donc $a_n^2 A_n^2$ est équivalent à $n^2$. Donc $b_n A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $b_n$ est équivalent à $\frac{n^2}{A_n^2}$.
La série $\sum b_k$ tend vers l'infini, donc $\sum_{k=0}^n b_k$ est équivalent à $\sum_{k=0}^n \frac{k^2}{A_k^2}$.
Donc $A_n$ est équivalent à $\sum_{k=0}^n \frac{k^2}{A_k^2}$, qui est supérieur à $C_n=\frac{1}{A_n^2}\sum_{k=0}^n k^2$ car $A_n$ est croissante.
$C_n$ est équivalent à $\frac{n^3}{3A_n^2}$.
De $\liminf A_n/ C_n \geq 1$, on déduit $\liminf 3A_n^3/n^3 \geq 1$, donc $\liminf A_n/n \geq \frac{1}{^3\sqrt{3}}$.
Donc $b_n$ est bornée, car $b_n A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $A_n$ est équivalent à $A_{n-1}$.
Ensuite, on fait une sommation d'Abel.
$b_nA_n^2$ est équivalent à $n^2$, donc $(A_n-A_{n-1}) A_n^2$ est équivalent à $n^2$.
Donc $A_n^3 - \sum A_{k-1}(A_k^2-A_{k-1}^2)$ est équivalent à $n^3/3$. (1)
$A_k^2-A_ {k-1}^2= (A_k-A_{k-1})(A_k+A_{k-1})$ est équivalent à $2b_kA_k$.
Donc $\sum A_{k-1}(A_k^2-A_{k-1}^2)$ est équivalent à $ \sum 2b_k A_k^2$, qui est équivalent à $\sum 2k^2$, autrement dit à $2n^3/3$.
Donc, d'après (1), $A_n^3$ est équivalent à $n^3$.
Donc $a_n$ tend vers $1$.
C'est l'étape $\displaystyle A_n \sim \sum_{k=0}^n \frac{a_k^2}{A_k^2}$ que je n'avais pas repérée.
Je suis quasiment sûr qu'il en existe une autre version plus récente, dans une autre filière et/ou autre concours, mais je ne l'ai pas retrouvée.