Vitesse de convergence

Borelline · November 2020

Bonjour, dans mes sources, soit $(x_n)$ un suite convergeant vers $\alpha$, je lis :
Cette convergence est au moins linéaire si il existe $0 < C < 1$, $N \geq 1$ tel que : $\forall n \leq N, |x_n - \alpha| < C|x_{n-1}-\alpha|$
Cette convergence est au moins géométrique si il existe $0 < k < 1$, $N \geq 1$ tel que : $|x_n - \alpha| = \mathcal{O}(k^n)$

J'ai alors plusieurs questions :
-> êtes vous bien d'accord avec ces définitions ?
-> la convergence au moins linéaire implique la convergence au moins géométrique est clair. La réciproque est-elle vrai ? Avez-vous une preuve? Un contre-exemple ?

Je n'arrive vraiment pas à clarifier ces notions !
Merci à vous,

Titi le curieux · November 2020

Bonjour,
Je ne connaissais pas les définitions, c'est une convention comme une autre, ça ne me choque pas. Il y a des convergence au moins géométrique qui ne sont pas au moins linéaire, exemple:
$u_0\neq 0\wedge \forall n\in\mathbb{N}, [ u_{2n+1}=2 u_{2n}\wedge u_{2n+2} =0.25 u_{2n+1}]$

totem · November 2020

@Titi : ça veut dire quoi $2 u_{2n}\wedge u_{2n+2}$ stp ?

Titi le curieux · November 2020

Re,
Désolé, j'ai pris l'habitude de définir des trucs avec des formules plus ou moins complète (c'est un petit investissement au départ, mais je trouve que ça rend la lecture plus efficace). $\wedge$ ça signifie "et" (et $\lor$ c'est "ou"). En gros ça signifie pour tout $n$, $u_{2n+1}=...$ et $u_{2n+2}=...$.

gilles benson · November 2020

Bonjour, par récurrence tu prouves que si $(u_n)$ vérifie ta croissance linéaire alors:
$$
|u_n- a| \leq K \times C^n

$$
à paritir d'un certain rang évidemment, ce qui correspond à ta croissance géométrique...

gilles benson · November 2020

D'un autre côté, on parle de convergence "quadratique" quand $|u_{n+1} - a| \leq K \times |u_n - a |^2 $...

Borelline · November 2020

Merci !

Vitesse de convergence

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 1