Vitesse de convergence
Bonjour, dans mes sources, soit $(x_n)$ un suite convergeant vers $\alpha$, je lis :
Cette convergence est au moins linéaire si il existe $0 < C < 1$, $N \geq 1$ tel que : $\forall n \leq N, |x_n - \alpha| < C|x_{n-1}-\alpha|$
Cette convergence est au moins géométrique si il existe $0 < k < 1$, $N \geq 1$ tel que : $|x_n - \alpha| = \mathcal{O}(k^n)$
J'ai alors plusieurs questions :
-> êtes vous bien d'accord avec ces définitions ?
-> la convergence au moins linéaire implique la convergence au moins géométrique est clair. La réciproque est-elle vrai ? Avez-vous une preuve? Un contre-exemple ?
Je n'arrive vraiment pas à clarifier ces notions !
Merci à vous,
Cette convergence est au moins linéaire si il existe $0 < C < 1$, $N \geq 1$ tel que : $\forall n \leq N, |x_n - \alpha| < C|x_{n-1}-\alpha|$
Cette convergence est au moins géométrique si il existe $0 < k < 1$, $N \geq 1$ tel que : $|x_n - \alpha| = \mathcal{O}(k^n)$
J'ai alors plusieurs questions :
-> êtes vous bien d'accord avec ces définitions ?
-> la convergence au moins linéaire implique la convergence au moins géométrique est clair. La réciproque est-elle vrai ? Avez-vous une preuve? Un contre-exemple ?
Je n'arrive vraiment pas à clarifier ces notions !
Merci à vous,
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Réponses
Je ne connaissais pas les définitions, c'est une convention comme une autre, ça ne me choque pas. Il y a des convergence au moins géométrique qui ne sont pas au moins linéaire, exemple:
$u_0\neq 0\wedge \forall n\in\mathbb{N}, [ u_{2n+1}=2 u_{2n}\wedge u_{2n+2} =0.25 u_{2n+1}]$
Désolé, j'ai pris l'habitude de définir des trucs avec des formules plus ou moins complète (c'est un petit investissement au départ, mais je trouve que ça rend la lecture plus efficace). $\wedge$ ça signifie "et" (et $\lor$ c'est "ou"). En gros ça signifie pour tout $n$, $u_{2n+1}=...$ et $u_{2n+2}=...$.
$$
|u_n- a| \leq K \times C^n
$$
à paritir d'un certain rang évidemment, ce qui correspond à ta croissance géométrique...