Exercice sur une suite

Coco27
Coco27
dans Analyse
Bonjour à tous,
Je bloque sur une question très bête.
On définit une suite (Un) par U0 = 1 et
Un+1 = Un/(3Un+1)

La première question est : "montrer que Un est bien définie". Je pense donc qu'il faut montrer que pour tout n, 3Un+1 est différent de 0.
J'ai essayé par récurrence mais je n'aboutis pas...

Si quelqu'un peut m'aider, ce serait très gentil.
Merci d'avance,
Coralie

Réponses

  • JLT
    JLT
    Montre par récurrence que $u_n>0$ pour tout $n$.
  • Coco27
    Coco27
    C'est la deuxième question de l'exercice... :(
  • JLT
    JLT
    Ce n'est pas grave, tu montres simultanément les deux premières questions par récurrence.
  • Coco27
    Coco27
    D'accord merci !
  • Chaurien
    Chaurien
    L'assertion $P(n)$ que l'on démontre par récurrence n'est pas toujours celle que l'on souhaite démontrer, mais ce peut être une assertion qui implique celle-ci. Dans le cas présent cette assertion $P(n) $ ne peut être « $u_n$ existe », ni « $u_n$ existe et $u_n \neq - \frac 13$ », qui ne se laissent pas faire, mais on prendra, selon la suggestion de JLT : « $u_n$ existe et $u_n>0$ ». Trouver cette bonne assertion, c'est ce qu'on peut appeler stratégie de la récurrence.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir
    je signale que le terme général $u_n$ de cette suite récurrente peut-être explicité facilement en effet :
    $$\frac{1}{u_n} = 3 + \frac{1}{u_{n-1}}.

    $$ Si on descend suivant $n$ lignes la récurrence jusqu'au terme $u_1$ et en sommant membre à membre les n équations récurrentes après simplification (somme télescopique) il vient : $
    \frac{1}{u_n} = 3n + \frac{1}{u_0}$ soit encore : $$u_n = \frac{1}{3n+1}.

    $$ Ttous les termes sont positifs, décroissants et la suite converge (lentement) vers zéro par valeurs positives.
    Cordialement.
  • Gilles old
    Gilles old
    Moi je trouve qu'elle converge rapidement vers 0. B-)-
  • Math Coss
    Math Coss
    Avec $f'(0)=1$, une convergence rapide, c'est suspect !

    Pour une fois, je suis d'accord avec Jean Lismonde.
    sage: def U(n):
....:     L = [1]
....:     for _ in range(n):
....:         L.append(L[-1]/(3*L[-1]+1))
....:     return L
....: 
sage: U(10)
[1, 1/4, 1/7, 1/10, 1/13, 1/16, 1/19, 1/22, 1/25, 1/28, 1/31]
  • Gilles old
    Gilles old
    Oui je plaisantals, on a clairement $(\frac{u_{n+1}-0}{u_n-0})$ qui tend vers 1, donc la convergence est lente.
    J'ai toujours une petite frayeur quand je lis ce genre de mot chez Jean Lismonde qui a des définitions bien à lui.
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