Ayant défini $\forall n \in \N^*, \forall i,j \in [\![1;n]\!], \quad F_n(i,j) = \binom n i\binom n j i^{n-j}j^{n-i} , \quad A_n= \sup\Big\{ F_n(i,j) \mid i,j \in [\![1;n]\!]\Big\},\:\: $ il ne m'a pas échappé qu'il "suffisait" de déterminer un équivalent de $A_n ^{1/2n}$, une tâche qui ne m' a pas paru être une sinécure.
Je pense néanmoins avoir méticuleusement établi , au prix de calculs particulièrement pénibles dont je m'abstiens de donner les détails, chacun des points suivants, qui conduisent à l'équivalent proposé par Etanche.: $\:\:X_n^{1/2n} \underset{n\to +\infty}\sim A_n^{1/2n} \underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n {\mathrm e \log n}.$
$\bullet$ En étudiant sur $[1;n]^2$ la fonction $(x,y) \mapsto (n-y) \log x + (n-x) \log y,\:$ on montre d'abord que pour $n$ assez grand $(n>60$ convient) que le maximum de $ i^{n-j}j^{n-i} $ est atteint lorsque $i=j =x_n$ où $x_n (1+\log x_n) = n\:\:$.
Il vient; $\:x_n \underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\log n}\:$ et avec l'équivalent de Stirling, on parvient à: $\:\: F_n(x_n,x_n) ^{1/2n}\underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\mathrm e \log n}.$
Ainsi , il reste à prouver que tous les $F_n(i,j)$ sont dominés par $\dfrac n{\mathrm e \log n}.$
$\bullet$ Si $i \geqslant \dfrac n{\log\log n},\:$ j'ai considéré $\: f_a: x \mapsto (n-a) \log x + (n-x) \log a ,\quad M_a = \sup_{[1;n]} f_a.\:\:$
Alors l'examen du maximum de $f_a(M_a)$ pour $a \geqslant \dfrac n{\log\log n}$ m'a conduit à une majoration de$\left(i^{n-j}j^{n-i}\right) ^{1/2n}$ par un $\:\:o\left (\dfrac n{\mathrm e \log n} \right).$
D'autre part :$\:\:\:\exists K>0,\:\:\forall n \in \N^*, \forall i,j \in [\![1;n]\!],\:\:\:\left(\binom n i \binom n j\right) ^{1/2n} \leqslant \binom n{n/2} ^{1/n}\leqslant K.$
$\bullet$ Si $\:\:i,j < \dfrac n{\log\log n},\:\:$ alors $\left(i^{n-j} j^{n-i}\right) ^{1/2n}\leqslant \left(x_n^{n-x_n}\right) ^{1/n}\underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\mathrm e \log n}\:\:$ et $\:\:\:\left(\binom n i \binom n j \right) ^{1/2n} $ est majoré par $ \binom n{ n/\log\log n} ^{1/n} $ qui tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty.$
@ Side
"La première étape" hélas ne suffit pas: (je me serais d'ailleurs bien passé des deux suivantes.)
Elle dit que $i^{n-j}j^{n-i} \leqslant \left(x_n^{n-x_n}\right) ^2, \qquad F_n(x_n,x_n)^{1/2n}\underset{n\to +\infty} \sim\dfrac n{\mathrm e \log n},\:\:\:$ mais ne dit pas que $F_n(i,j) \leqslant F_n(x_n,x_n).$
L'encadrement dont a besoin est $A_n\leqslant X_n\leqslant n^2A_n.$
Réponses
Ayant défini $\forall n \in \N^*, \forall i,j \in [\![1;n]\!], \quad F_n(i,j) = \binom n i\binom n j i^{n-j}j^{n-i} , \quad A_n= \sup\Big\{ F_n(i,j) \mid i,j \in [\![1;n]\!]\Big\},\:\: $ il ne m'a pas échappé qu'il "suffisait" de déterminer un équivalent de $A_n ^{1/2n}$, une tâche qui ne m' a pas paru être une sinécure.
Je pense néanmoins avoir méticuleusement établi , au prix de calculs particulièrement pénibles dont je m'abstiens de donner les détails, chacun des points suivants, qui conduisent à l'équivalent proposé par Etanche.: $\:\:X_n^{1/2n} \underset{n\to +\infty}\sim A_n^{1/2n} \underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n {\mathrm e \log n}.$
$\bullet$ En étudiant sur $[1;n]^2$ la fonction $(x,y) \mapsto (n-y) \log x + (n-x) \log y,\:$ on montre d'abord que pour $n$ assez grand $(n>60$ convient) que le maximum de $ i^{n-j}j^{n-i} $ est atteint lorsque $i=j =x_n$ où $x_n (1+\log x_n) = n\:\:$.
Il vient; $\:x_n \underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\log n}\:$ et avec l'équivalent de Stirling, on parvient à: $\:\: F_n(x_n,x_n) ^{1/2n}\underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\mathrm e \log n}.$
Ainsi , il reste à prouver que tous les $F_n(i,j)$ sont dominés par $\dfrac n{\mathrm e \log n}.$
$\bullet$ Si $i \geqslant \dfrac n{\log\log n},\:$ j'ai considéré $\: f_a: x \mapsto (n-a) \log x + (n-x) \log a ,\quad M_a = \sup_{[1;n]} f_a.\:\:$
Alors l'examen du maximum de $f_a(M_a)$ pour $a \geqslant \dfrac n{\log\log n}$ m'a conduit à une majoration de$\left(i^{n-j}j^{n-i}\right) ^{1/2n}$ par un $\:\:o\left (\dfrac n{\mathrm e \log n} \right).$
D'autre part :$\:\:\:\exists K>0,\:\:\forall n \in \N^*, \forall i,j \in [\![1;n]\!],\:\:\:\left(\binom n i \binom n j\right) ^{1/2n} \leqslant \binom n{n/2} ^{1/n}\leqslant K.$
$\bullet$ Si $\:\:i,j < \dfrac n{\log\log n},\:\:$ alors $\left(i^{n-j} j^{n-i}\right) ^{1/2n}\leqslant \left(x_n^{n-x_n}\right) ^{1/n}\underset{n\to +\infty}\sim \dfrac n{\mathrm e \log n}\:\:$ et $\:\:\:\left(\binom n i \binom n j \right) ^{1/2n} $ est majoré par $ \binom n{ n/\log\log n} ^{1/n} $ qui tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty.$
"La première étape" hélas ne suffit pas: (je me serais d'ailleurs bien passé des deux suivantes.)
Elle dit que $i^{n-j}j^{n-i} \leqslant \left(x_n^{n-x_n}\right) ^2, \qquad F_n(x_n,x_n)^{1/2n}\underset{n\to +\infty} \sim\dfrac n{\mathrm e \log n},\:\:\:$ mais ne dit pas que $F_n(i,j) \leqslant F_n(x_n,x_n).$
L'encadrement dont a besoin est $A_n\leqslant X_n\leqslant n^2A_n.$