Logarithme complexe
Bonjour,
pour trouver une primitive de la fonction $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $x\mapsto \frac{1}{x-z}$ où $z = a+\mathrm{i}b$ avec $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}^*$, on peut multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur et après quelques arrangements on trouve $x\mapsto \ln |x-z| + \mathrm{i}\arctan\frac{x-a}{b} + c$ avec $c\in\mathbb{C}$ une constante d'intégration.
Maintenant, je souhaiterais retrouver ce résultat de manière un peu plus directe mais j'ai l'impression que ça manque de rigueur. En considérant $\int\frac{1}{x-z}\mathrm{d}x$ je pensais faire le changement de variable $x-z = \mathrm{e}^y$ où $y$ serait obtenu par un logarithme complexe qui est bien défini (modulo $2\mathrm{i}\pi$) étant donné qu'on se trouve soit sur le demi plan complexe supérieur ou dans le demi plan complexe inférieur (qui sont des ouverts connexes). Du coup pour finir le changement de variable on a $\mathrm{d}x = \mathrm{e}^y\mathrm{d}y$ et on se retrouver avec $\int\mathrm{d}y$ que l'on intègre sur la ligne $\mathbb{R}-\mathrm{i}b$. Ainsi une primitive initiale est $\int\frac{1}{x-z}\mathrm{d}x = \ln (x-z) + c$ où ici le logarithme est n'importe quelle détermination (continue) et quitte à changer de constante d'intégration on retrouve bien le résultat voulu.
Est-ce que cela tient un minimum la route ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
pour trouver une primitive de la fonction $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{C}$, $x\mapsto \frac{1}{x-z}$ où $z = a+\mathrm{i}b$ avec $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}^*$, on peut multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur et après quelques arrangements on trouve $x\mapsto \ln |x-z| + \mathrm{i}\arctan\frac{x-a}{b} + c$ avec $c\in\mathbb{C}$ une constante d'intégration.
Maintenant, je souhaiterais retrouver ce résultat de manière un peu plus directe mais j'ai l'impression que ça manque de rigueur. En considérant $\int\frac{1}{x-z}\mathrm{d}x$ je pensais faire le changement de variable $x-z = \mathrm{e}^y$ où $y$ serait obtenu par un logarithme complexe qui est bien défini (modulo $2\mathrm{i}\pi$) étant donné qu'on se trouve soit sur le demi plan complexe supérieur ou dans le demi plan complexe inférieur (qui sont des ouverts connexes). Du coup pour finir le changement de variable on a $\mathrm{d}x = \mathrm{e}^y\mathrm{d}y$ et on se retrouver avec $\int\mathrm{d}y$ que l'on intègre sur la ligne $\mathbb{R}-\mathrm{i}b$. Ainsi une primitive initiale est $\int\frac{1}{x-z}\mathrm{d}x = \ln (x-z) + c$ où ici le logarithme est n'importe quelle détermination (continue) et quitte à changer de constante d'intégration on retrouve bien le résultat voulu.
Est-ce que cela tient un minimum la route ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses
Ce que tu peux faire si tu connais une détermination complexe $\log$ du logarithme sur un ouvert $\Omega$ qui contient la droite $\R-b\mathrm{i}$, c'est-à-dire une fonction holomorphe dont la dérivée est $\log':w\mapsto 1/w$, alors tu peux constater que la fonction $x\mapsto\log(x-z)$ est une primitive de la fonction $x\mapsto1/(x-z)$ (définie sur $\R$ et à valeurs complexes) : il s'agit de dériver la composée des fonctions $\R\to\Omega$, $x\mapsto x-z$ et $\log$. Légère finesse : pour mélanger la dérivée d'une fonction définie sur $\R$ et la dérivée d'une fonction holomorphe, il faut sans doute passer par la notion de différentiabilité des fonctions à plusieurs variables.
merci beaucoup pour ton aide.
Donc si je reprends pour un $z = a + \mathrm{i}b$ (avec $b$ non nul) fixé, on définit une première fonction qui est une détermination du logarithme sur un ouvert $\Omega$ contenant la droite $\mathbb{R}-\mathrm{i}b$ que je vais noter $\ell$ (et pas $\ln$ pour ne pas me faire influencer)
$$\begin{array}{rccc}\ell:&\Omega\subset\mathbb{C}&\longrightarrow& \mathbb{C}\\ &w&\longmapsto& \ell(w)\\\end{array}.
$$ Cette fonction est la réciproque de $\exp|_{\mathrm{Im}\ell}$, l'exponentielle complexe restreinte à l'image de la fonction $\ell$. Comme l'exponentielle complexe est holomorphe on doit pouvoir montrer que $\ell$ l'est aussi sur $\Omega$ et sa dérivée (complexe) est $w\mapsto\frac{1}{w}$.
On définit une seconde fonction
$$\begin{array}{rccc}h:&\mathbb{R}&\longrightarrow& \mathbb{R}+\mathrm{i}b\subset\Omega\\ &x&\longmapsto& x-z
\end{array}.
$$ De là on construit la fonction composée $g = \ell\circ h \colon x\mapsto \ell (x-z)$. Il reste à montrer que $g' = f$
Du coup histoire de faire ça proprement je vais passer par la notion de différentielle plutôt que de dérivée. Je note $\mathrm{d}_xg(v) = g'(x)v$ la différentielle de $g$ au point $x$ appliqué à $v$ ce qui donne
$$\mathrm{d}_xg(v) = \mathrm{d}_{h(x)}\ell \circ \mathrm{d}_x h (v) = \frac{v}{h(x)} = \frac{v}{x-z}.
$$ On trouve $g'(x) = f(x)$.
En fait je n'ai pas compris ta remarque. Quand on compose les différentielles, on compose la $\mathbb{R}$-linéarité $\mathrm{d}_x h$ avec la $\mathbb{C}$-linéarité de $\mathrm{d}_{h(x)}\ell$ mais à la fin comme $v$ est un réel on a de la $\mathbb{R}$-linéarité. J'ai l'impression d'avoir fait mon bourrin car je n'ai pas vu où se cache la légère finesse.
Cordialement,
Mister Da
Edit : correction de coquilles.
Il y a des risques de confusion parce qu'il y a des mots qui ont plusieurs sens. Par exemple dérivée : pour une fonction définie sur $\R$, c'est une limite sur un voisinage d'un intervalle ; pour une fonction définie sur $\C$, c'est une limite sur un voisinage qui « est » un disque : ça se ressemble mais ça n'est pas synonyme. Par exemple, la fonction $x\mapsto \exp-\frac1{x^2}$ qui est $C^\infty$ ne se prolonge pas en une fonction holomorphe sur un voisinage de $0$ – je ne dis pas que tu l'as dit.
Dans la même veine, on sait dériver la composée de fonctions définies sur une partie de $\R$ ou la composée de fonctions holomorphes parce qu'il y a des théorèmes bien explicités dans les livres. Pour dériver la composée d'une fonction définie sur $\R$ et une fonction holomorphe, tu as fait le travail – ça relève de la composée de fonctions de plusieurs variables – mais le théorème reste, il me semble, en général implicite (sans doute parce qu'il est évident ?). Dans la vérification, il faut être attentif à la différence entre la dérivée $f'(a)$ et la différentielle $h\mapsto f'(a)h$ (dans les cas réel et complexe) mais visiblement ça ne te pose pas de problème.
Bref, dans ton cas, rien ne se passe mais je pense que cela vaut la peine de le vérifier au moins une fois. Désolé si tu as eu l'impression de perdre ton temps.
Une autre ligne d'argument pour dériver sans problème serait de considérer $\R\to\C$ $x\mapsto x-z$ comme la restriction d'une fonction holomorphe, $w\mapsto w-z$, sur un voisinage de la droite droite réelle assez petit pour que l'image (qui contient $\R-\mathrm{i}b$) soit contenue dans l'ouvert $\Omega$ où l'on dispose d'un logarithme (par exemple $\Omega+z$...). Dans ces conditions, on dérive la composée de fonctions holomorphes puis on restreint à une droite.
"on peut se demander ce qu'est chaque objet qu'on manipule"
Tu prêches un converti, j'essaye même de transformer ce pouvoir en devoir mais je patine rapidement.
"je ne dis pas que tu l'as dit."
Non, mais je pense que tu n'aurais pas eu besoin de beaucoup me pousser pour que je prenne les pieds dans le tapis !
"Désolé si tu as eu l'impression de perdre ton temps."
Oh, bah c'est le monde à l'envers, c'est moi qui pose une question ! Si quelqu'un doit perdre son temps ce n'est bien pas moi !
C'est la première fois que je me retrouve à faire un mélange des genres en composant des différentielles complexes et d'autres réelles. Effectivement la fin de ton message est probablement le meilleur angle d'attaque pour éviter le mélange.
J'aimerai quand même éclaircir un point car quand tu dis "mais visiblement ça ne te pose pas de problème", j'ai la sensation qu'il y a quelque chose qui m'échappe. En reprenant les notations de mon ancien message voici ce que j'ai en tête :
Quand je considère la fonction $g\colon U\subset\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ où $U$ est un ouvert. Pour tout $x\in U$ fixé, l'application $\mathrm{d}_xg$ est une application de $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ qui est $\mathbb{R}$-linéaire (car l'espace de départ étant un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, je ne considère que les combinaisons $\mathbb{R}$-linéaires).
En revanche, pour la fonction fonction $\ell$, pour tout $z\in\Omega$, $\mathrm{d}_{z}\ell$ de $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ qui est $\mathbb{C}$-linéaire (car je vois ici l'espace de départ $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et non un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (de dimension 2)).
Finalement je ne vois pas le problème vu qu'une combinaison $\mathbb{R}$-linéaire peut être vue comme une combinaison $\mathbb{C}$-linéaire particulière dans laquelle les scalaires ont leurs parties imaginaires nulles.
Je fais une erreur en disant tout cela ?
Cordialement,
Mister Da
Pour résumer, ton calcul de composée de différentielle montre que si $f:\R\to\Omega$ est dérivable et $\ell:\Omega\to\C$ est holomorphe, alors $\ell\circ f$ est dérivable et sa dérivée est, comme on s'y attend, $x\mapsto f'(x)\ell'(f(x))$. Ce n'est pas étonnant mais on mélange deux types de dérivées.
Tiens, je vais me renvoyer à la tête ton reproche : mais c'est évident ! En effet, \[\lim_{h\to0}\frac{\ell(f(x+h))-\ell(f(x))}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\ell(f(x+h))-\ell(f(x))}{f(x+h)-f(x)}\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\ell'(f(x))\cdot f'(x).\]Enfin presque... Ceci n'a de sens que si $f$ est injective au voisinage de $x$, du moins si $f(x+h)\ne f(x)$ pour $h$ non nul assez petit, sans quoi on divise par zéro. Mieux vaut écrire la caractérisation en termes de $o$ – mais alors cela revient à composer des différentielles : pour $x$ donné,\[\begin{cases}\ell(f(x)+k)=\ell(f(x))+\ell'(f(x))k+o(k)\\f(x+h)=f(x)+hf'(x)+o(h)\end{cases}\]d'où\[\ell(f(x+h))=\ell\bigl(f(x)+hf'(x)+o(h)\bigr)=\ell(f(x))+\ell'(f(x))\bigl(hf'(x)+o(h)\bigr)+o(h)\dots\]
d'accord merci pour toutes ces précisions. Pour résumer, ce n'est pas anormal que tout s'imbrique correctement mais ça méritait quand même réflexion pour être bien au clair.
J'aurais juste une dernière question d'ordre typographique, pour désigner un logarithme complexe il vaut mieux écrire $\log$ que $\ln$. Ainsi on écrit $\log (x-z) = \ln |x-z| + \mathrm{i}\arctan\frac{x-a}{b} + 2k\mathrm{i}\pi$ ? Je me pose cette question car tu écris $\log$ dans ton message et sur internet j'ai vu un peu de tout.
Cordialement,
Mister Da
Edit : correction d'une coquille.
d'accord, il vaut mieux introduire la notation vu qu'il n'y a pas de véritable standard.
Merci beaucoup pour ton aide !
Cordialement,
Mister Da