Injection compacte

Bonjour,

Les deux espaces sont munis de la même norme.

L'ensemble $[0;1]$ est compact pourtant l'ensemble des fonctions de $L^2([0;1])$ à valeurs dans $[0;1]$ ne s'injecte pas compactement dans $L^2([0;1])$. Si je ne dis pas de bêtises ici c'est un peu pareil.

Soit $f\in H^1_0(\Omega)$ une fonction non nulle, pour tout $n>0$ je note $\phi_n : (t,x) \mapsto \sqrt n f(x) \chi_{[0;1/n]}(t)$. La suite $(\phi_n)_n$ est bornée dans $L^2(0,T,H_0^1(\Omega))$ car sa norme est constante et elle n'admet pas de sous suite convergente dans $L^2(0,T,L^2(\Omega))$. L'injection n'est donc pas compacte.

Ah mais dans ce cas ce n'est plus la même question... Dans le contre-exemple que je donne à ta question ma suite ne converge pas faiblement dans $L^2(0;T, H_0^1(\Omega))$ donc ce n'est pas un contre-exemple à ce qui est dit dans cette thèse.

Bizarre comme résultat, car il faut en général plus d'information par rapport au temps (les translations en temps, ou une condition sur $u_t$).
Il me semble que l'exemple de Corto convient d'ailleurs, sa suite converge vers 0 faiblement non ?
Est-il possible d'avoir une référence de la thèse ?

@Corto : je voulais répondre avec une suite de fonctions en temps (de plus en plus) oscillantes, mais avant d'être face à un clavier, tu m'as devancé. Ces espaces (compacité, continuité en temps) me donnent des sueurs froides... J'ai le même genre d'affirmation dans un papier à reviewer...

La référence usuelle est l'article de J. Simon, Compact sets in the space $L^p(O,T; $, http://jsimon.vivrc.fr/maths/Simon-E3.pdf

Tel quel le résultat de compacité est faux.
Dans le contexte de la thèse, très difficile à lire et avec beaucoup de confusions (on applique un lemme de compacité avec $X=Y=H=V$ ?), on peut peut-être récupérer une convergence forte en utilisant l'équation vérifiée par $\varphi$.