Existence d’un irrationnel

Parce que par exemple « tout nombre positif rationnel admet une racine carrée » est faux.
C’est bien une propriété des réels qui fait que ça marche.

Par exemple 2 n'admet pas de racine carrée rationnelle (le mot qui manquait dans le message de Dom).

C'est bien la propriété des réels qui fait que ça marche.

JP59: on n'a pas besoin de ce raisonnement pour savoir que des réels non rationnels existent.

Montrer que $2$ a une racine carrée.

jp59 a écrit:

Mais la preuve classique par l’absurde que racine de 2 est irrationnelle n’est-elle pas suffisante pour prouver qu’il existe des réels non rationnels ?

Pas du tout !

Cette preuve démontre que SI il existe une racine carrée du nombre 2, ALORS elle est irrationnelle.

Cela ne démontre pas du tout l'existence de la racine carrée. Bien sûr, si on admet cette partie là, alors ça démontre bien l'existence d'un nombre irrationnel.

jp59 a écrit:

Devrait-on démontrer que tout nombre positif admet une racine ?

Oui, comme c'est fait dans tout cours sérieux d'analyse (par exemple via le théorème des valeurs intermédiaires). Je t'invite à lire mon message précédent car on a posté en même temps.

Au passage Dom, l'exercice ne démontre pas la stabilité de la racine carrée, il démontre son existence (pour le réel 2).

La surjectivité peut justement être obtenue par le TVI.

JP59:
Il faut appliquer correctement ce théorème tout de même. Ce que tu ne fais pas.

Soit $0<r<1$ un réel. On considère la fonction $h(x)=x^2-r$ définie sur $[0;\infty[$. Cette fonction est continue c'est un polynôme. $h(0)=-r<0$ et $h(1)=1-r>0$ etc...

Cela permet de montrer qu'il existe un réel $0<\alpha<1$ tel que $h(\alpha)=0$ c'est à dire tel que $\alpha^2=r$.

PS:
Cela démontre que tous les nombres compris entre $0$ et $1$ strictement possèdent une racine carrée.
Pour $0$ et $1$ le problème est réglé puisque $0=0^2$ et $1=1^2$

Pour les nombres $r$ plus grands que $1$ on divise $r$ par un carré d'un nombre entier naturel $N$ suffisamment grand pour que le résultat soit un nombre plus petit que $1$ et on applique le résultat démontré.

Il existe donc $\alpha$ tel que $\alpha^2=\dfrac{r}{N^2}$ c'est à dire que $(N\alpha)^2=r$.

jp59 a écrit:

Le fait que la fonction carrée est bijective prouve que tout réel positif admet une racine carrée. C’est une preuve alternative à celle de l’exercice ?

Si tu remplaces bijective par bijective sur $\R_+$ alors oui.

JP59:
Il faut faire proprement le travail.

Si tu regardes ce que j'ai fait. Je me suis senti obligé de me limiter à m'intéresser à la racine carrée des nombres positifs plus petits que $1$ parce que c'était plus commode (pour moi) pour avoir les deux inégalités dont on a besoin pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

"Ma" version du théorème des valeurs intermédiaires est la suivante:

Soit $f$ une fonction continue définie sur l'intervalle $[a,b]$ avec $a<b$ si on a $f(a)\times f(b)<0$ alors il existe un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[a,b]$ tel que $f(\alpha)=0$.

$f(a)\times f(b)<0$ est une écriture condensée qui signifie que parmi les nombres $f(a),f(b)$ l'un est strictement positif, l'autre strictement négatif.

PS:

Si on pense que c'est évident* que pour $r>0$ il existe toujours un réel $x$ tel que $x^2-r>0$ alors on n'a pas besoin de se limiter comme je l'ai fait.
Mais il me semble que c'est plus évident de considérer que si on divise un nombre réel par un carré suffisamment grand on obtient un nombre plus petit que $1$.

*: à ce moment du raisonnement on ne sait pas si la racine carrée de $r$ existe.

JP59:

Si tu sais que pour $r>0$ , $\lim_{x\rightarrow \infty} x^2-r=+\infty$ alors on peut chausser les gros godillots.

Chalk:

C'est encore plus simple de considérer que le fait que la fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction définie sur $[0,\infty[$ vers le même intervalle, par $f(x)=x^2$ est un théorème.

On peut sûrement trouver des arguments encore plus sophistiqués qui le prouvent.
Mais est-ce que c'est ce qu'il faut faire quand on se questionne sur ce résultat basique d'analyse?

Chalk:

Quelque chose me dit que si on rédige proprement ce ne sera pas plus court que ce que j'ai fait.