Existence d’un irrationnel
Bonjour,
Voici un énoncé d’exercice. Il montre qu’il existe un nombre réel dont le carré vaut 2 en utilisant la propriété de la borne supérieure. J’ai bien fait et compris l’exercice mais je me pose une question quasi philosophique : quel besoin d’invoquer la propriété de la borne supérieure pour démontrer que tout nombre réel positif admet une racine carrée.
Quel est le fond de cette réflexion ?
Autrement dit : lorsqu’en seconde on définit la fonction racine pour tout réel positif. On manque une démonstration ?
Toute au long de mon lycée, on écrivait racine de a si a est positif sans se poser la question de l’existence de cette racine
Merci d’avance
Voici un énoncé d’exercice. Il montre qu’il existe un nombre réel dont le carré vaut 2 en utilisant la propriété de la borne supérieure. J’ai bien fait et compris l’exercice mais je me pose une question quasi philosophique : quel besoin d’invoquer la propriété de la borne supérieure pour démontrer que tout nombre réel positif admet une racine carrée.
Quel est le fond de cette réflexion ?
Autrement dit : lorsqu’en seconde on définit la fonction racine pour tout réel positif. On manque une démonstration ?
Toute au long de mon lycée, on écrivait racine de a si a est positif sans se poser la question de l’existence de cette racine
Merci d’avance
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Réponses
C’est bien une propriété des réels qui fait que ça marche.
« tout réel positif admet une racine carrée et comme tout rationnel positif est un réel positif tout rationnel positif admet une racine carrée » c’est faux ?
C'est bien la propriété des réels qui fait que ça marche.
jp59,
$\mathbb Q_+$ n'est pas stable par racine carrée.
On peut écrire ça comme ça : $\sqrt{\mathbb Q_+} \not\subset \mathbb Q_+$
On construit $\mathbb R$.
Cet exercice démontre que $\mathbb R_+$ est stable par racine carrée.
On peut écrire ça comme ça : $\sqrt{\mathbb R_+} \subset \mathbb R_+$
Pas du tout !
Cette preuve démontre que SI il existe une racine carrée du nombre 2, ALORS elle est irrationnelle.
Cela ne démontre pas du tout l'existence de la racine carrée. Bien sûr, si on admet cette partie là, alors ça démontre bien l'existence d'un nombre irrationnel.
Oui, comme c'est fait dans tout cours sérieux d'analyse (par exemple via le théorème des valeurs intermédiaires). Je t'invite à lire mon message précédent car on a posté en même temps.
Au passage Dom, l'exercice ne démontre pas la stabilité de la racine carrée, il démontre son existence (pour le réel 2).
Mais en seconde on ne préoccupe pas de savoir si cette définition a du sens, on fait comme si elle en avait un.
(toutes les fonctions n'admettent pas une fonction réciproque)
On peut montrer que la fonction $f$ est injective. $x^2=y^2$ est équivalent à $(x-y)(x+y)=0$ donc comme $x,y$ sont positifs cela implique que $x=y$.
Mais comment montres-tu que la fonction $f$ est bien surjective c'est-à-dire que l'image de l'intervalle $[0;\infty[$ est lui-même ?
Il faut appliquer correctement ce théorème tout de même. Ce que tu ne fais pas.
Cela permet de montrer qu'il existe un réel $0<\alpha<1$ tel que $h(\alpha)=0$ c'est à dire tel que $\alpha^2=r$.
PS:
Cela démontre que tous les nombres compris entre $0$ et $1$ strictement possèdent une racine carrée.
Pour $0$ et $1$ le problème est réglé puisque $0=0^2$ et $1=1^2$
Pour les nombres $r$ plus grands que $1$ on divise $r$ par un carré d'un nombre entier naturel $N$ suffisamment grand pour que le résultat soit un nombre plus petit que $1$ et on applique le résultat démontré.
Il existe donc $\alpha$ tel que $\alpha^2=\dfrac{r}{N^2}$ c'est à dire que $(N\alpha)^2=r$.
Si tu sais comment montrer que la fonction carrée définie de $[0;\infty[$ vers le même intervalle est surjective en effet.
Mais pour démontrer cette surjectivité on va être obligé d'utiliser un des théorèmes fondamentaux de l'analyse.
Si tu remplaces bijective par bijective sur $\R_+$ alors oui.
Il faut faire proprement le travail.
Si tu regardes ce que j'ai fait. Je me suis senti obligé de me limiter à m'intéresser à la racine carrée des nombres positifs plus petits que $1$ parce que c'était plus commode (pour moi) pour avoir les deux inégalités dont on a besoin pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
"Ma" version du théorème des valeurs intermédiaires est la suivante:
Soit $f$ une fonction continue définie sur l'intervalle $[a,b]$ avec $a<b$ si on a $f(a)\times f(b)<0$ alors il existe un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[a,b]$ tel que $f(\alpha)=0$.
$f(a)\times f(b)<0$ est une écriture condensée qui signifie que parmi les nombres $f(a),f(b)$ l'un est strictement positif, l'autre strictement négatif.
PS:
Si on pense que c'est évident* que pour $r>0$ il existe toujours un réel $x$ tel que $x^2-r>0$ alors on n'a pas besoin de se limiter comme je l'ai fait.
Mais il me semble que c'est plus évident de considérer que si on divise un nombre réel par un carré suffisamment grand on obtient un nombre plus petit que $1$.
*: à ce moment du raisonnement on ne sait pas si la racine carrée de $r$ existe.
Si tu sais que pour $r>0$ , $\lim_{x\rightarrow \infty} x^2-r=+\infty$ alors on peut chausser les gros godillots.
C'est encore plus simple de considérer que le fait que la fonction racine carrée est la fonction réciproque de la fonction définie sur $[0,\infty[$ vers le même intervalle, par $f(x)=x^2$ est un théorème.
On peut sûrement trouver des arguments encore plus sophistiqués qui le prouvent.
Mais est-ce que c'est ce qu'il faut faire quand on se questionne sur ce résultat basique d'analyse?
Quelque chose me dit que si on rédige proprement ce ne sera pas plus court que ce que j'ai fait.
Mieux vaut trop de démonstrations qu'aucune démonstration !