Sommes partielles équivalentes à $n^{b}$

Merci à tous pour vos réponses et merci à MrJ pour le lien que je consulterai si je n'aboutis pas (je réessaie encore un peu avant).

J'avais en effet commencé par considérer des tranches $\sum\limits_{k=n}^{(1+\varepsilon) n} u_k$ (nonobstant les parties entières), (j'avais commencé par $\varepsilon = 1$ en cherchant à m'inspirer de la preuve de "si $(u_n)$ est positive et décroît, et si $\sum u_n$ converge, alors $u_n = o\left( \frac{1}{n} \right)$"), et puisque je voulais que $\varepsilon$ soit petit, j'avais cru bon de le prendre variable tendant vers $0$ (j'ai passé un moment à voir ce que je pouvais tirer de $\varepsilon_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$, c'est-à-dire $\varphi (n) = \sqrt{n}$ avec les notations de mon premier message).

Merci pour vos indications. J'écris la preuve au cas où quelqu'un retomberait sur ce fil dans quelques temps et aurait besoin d'un coup de pouce supplémentaire. Je donne la version pour taupins, sans limites supérieures et inférieures.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite positive décroissante telle que $S_N \sim N^b$ pour un $b>0$, montrons que $u_n \sim b n^{b-1}$.

Soit $\delta >0$. Alors on tire de l'hypothèse $S_N \sim N^b$ et de manipulations élémentaires de développements asymptotiques que \[ S_{N + \lfloor \delta N \rfloor} -S_N = N^b\left( (1+\delta)^b - 1 +o(1) \right) \] et \[S_N - S_{N-\lfloor \delta N \rfloor} = N^b \left( 1 - (1-\delta)^b + o(1) \right) .
\] Pour tout $N\in \mathbb{N}$, en utilisant la décroissance de $(u_n)$ pour majorer chaque terme de la somme $\sum\limits_{n=N+1}^{N + \lfloor \delta N \rfloor} u_n$ par $u_N$, il vient \[S_{N + \lfloor \delta N \rfloor} -S_N \leq \lfloor \delta N \rfloor u_N ,\] et de même en minorant chaque terme de $\sum\limits_{n=N-\lfloor \delta N \rfloor+1}^N u_n$ par $u_N$, il vient \[ S_N - S_{N-\lfloor \delta N \rfloor} \geq \lfloor \delta N \rfloor u_N.
\] D'où \[ \frac{N^b \left( 1 - (1-\delta)^b + o(1) \right)}{\delta N} \leq u_N \leq \frac{N^b\left( (1+\delta)^b - 1 +o(1) \right)}{\delta N} \] (les parties entières se sont cachées dans les $o(1)$), autrement dit \[N^{b-1} \left( \frac{1 - (1-\delta)^b}{\delta} +o(1) \right) \leq u_N \leq N^{b-1} \left( \frac{(1 + \delta)^b - 1}{\delta} +o(1) \right) .

\] Notons $\psi_\delta$ et $\psi_\delta$ deux suites qui tendent vers $0$ telles que \[N^{b-1} \left( \frac{1 - (1-\delta)^b}{\delta} +\phi_\delta (N) \right) \leq u_N \leq N^{b-1} \left( \frac{(1 + \delta)^b - 1}{\delta} +\psi_\delta (N) \right) \] (ces suites ne servent à rien à part à insister sur le fait que les $o(1)$ dépendent de $\delta$).

Soit $\varepsilon >0$. Puisque $\frac{1 - (1-\delta)^b}{\delta} \xrightarrow[\delta \to 0]{} b$ et $ \frac{(1 + \delta)^b - 1}{\delta} \xrightarrow[\delta \to 0]{} b$ (dérivée de $x \mapsto x^b$ en $1$), prenons un $\delta >0$ tel que $ \frac{1 - (1-\delta)^b}{\delta} \geq b-\varepsilon$ et $\frac{(1 + \delta)^b - 1}{\delta} \leq b + \varepsilon$. Pour ce $\delta$, prenons un $K$ tel que pour tout $N \geq K$, $|\phi_\delta (N)| \leq \varepsilon$ et $|\psi_\delta (N)| \leq \varepsilon$. Alors pour $N \geq K$, on obtient $bN^{b-1} -2 \varepsilon N^{b-1} \leq u_N \leq bN^{b-1} + 2 \varepsilon N^{b-1}$, c'est-à-dire \[\left| u_N -bN^{b-1} \right| \leq 2 \varepsilon N^{b-1}, \] et on a bien \[ u_N \sim bN^{b-1}.\]