Démontrer une limite avec Fourier

Le produit scalaire de $C^0_{\pi - per}$ donné par : $$\langle f,h \rangle := \int_{-\pi}^\pi f(x)h(x) \mathrm dx
$$ correspond à celui dans $\ell^2(\mathbb Z)$ :
$$\langle f,h \rangle = \sum_{k \in \mathbb Z} c_k(f)\overline{c_k(h)},
$$ où $c_k(f)$ est le $k$-ème coefficient de Fourier de $f$.
Tu peux calculer les coefficients de Fourier de $x \mapsto g(nx)$.

Désagréable, en effet Gabu, cet usage de plusieurs forums.
Benjamin, très astucieux ; mais je n'avais jamais remarqué à quel point le calcul des coefficients de Fourier de $x\mapsto g(nx)$ peut être exaspérant.

Je répète que ça se fait sans Fourier, de façon tout à fait élémentaire. J'ai indiqué comment sur l'autre forum.

@P Il suffit de remarquer que $x \mapsto g(nx)$ est $\frac{2\pi}{n}$ périodique, donc :
$$\int_0^{2\pi} g(nx) e^{-ikx} \mathrm dx = \sum_{j=0}^{n-1} \int_0^{\frac{2 \pi}{n}} g(nx)e^{-ik(x+\frac{2 j\pi}{n})} \mathrm dx= \Big (\int_0^{\frac{2 \pi}{n}} g(nx)e^{-ikx} \mathrm dx \Big ) \times \Big ( \sum_{\zeta \in \mathbb U_n} \zeta^{k} \Big ) ,
$$ où $\mathbb U_n$ est le groupe des racines $n$-ème de l'unité. Or la dernière somme vaut $n$ si $n\mid k$ et $0$ sinon.

Gabu tu as raison. Mais la preuve Plancherel de Ben est jolie et valable pour $f,g\in L^2$ avec Schwarz :

$$\int_0^{2\pi}f(x)g(nx)dx=2\pi\sum_{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(kn)\overline{\hat{g}(k)}\to_{n\to \infty} 2\pi\hat{f}(0)\overline{\hat{g}(0)}$$