Unicité de la différentielle

Réponses

• Chalk

  November 2020

  Si je note $A$ et $B$ les deux différentielles en $x$, pour tout $h\in E$ et $t\in \R^*$, on a :
  
  $$A(h) - B(h) = \Vert h\Vert_1 \dfrac{\phi(th)}{\Vert th\Vert_1} + \Vert h\Vert_2 \dfrac{\psi(th)}{\Vert th \Vert_2}$$
  
  avec $ \left| \dfrac{\phi(th)}{\Vert th\Vert_1} \right|_1 \to 0$ lorsque $t\to 0$ et de même pour $\psi$ avec la norme $2$.
  
  Ensuite, impossible de trouver une norme sur $F$ qui me permette de majorer $A(h)-B(h)$ par un truc qui tend vers $0$, les normes sur $F$ n'étant pas équivalentes je reste bloqué.
• Calli

  November 2020

  Salut,
  Pour tout $h\in E$, ${\rm d}f_x(h) = \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} f(x+th)\right|_{t=0}$ et ceci est indépendant de la norme choisie sur $E$, mais pas de la forme choisi sur $F$ car dans $\left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} f(x+th)\right|_{t=0}$ il y a de la convergence dans $F$ qui intervient. Donc ${\rm d}f_x$ est indépendant de la norme sur $E$ (pourvu que la différentielle existe pour la norme considérée), mais a priori pas de celle sur $F$.
• Chalk

  November 2020

  Oui mon calcul montre aussi que si j'ai la même norme sur $F$ ça marche en effet.
  
  Aurais-tu un contre-exemple explicite ?
• Calli

  November 2020

  Soit $F = R^{(\Bbb N)}$ l'espace des suites de support fini. Je pose $\displaystyle|x|_1 = \sum_{n=0}^\infty \frac{|x_n|}{n+1}$ et $\displaystyle |x|_2 = \left|\sum_{n=0}^\infty x_n\right| + \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}$. Notons $(e^n)$ la base canonique de $F$ : $\forall n,\,\forall i,\,e^n_i = \delta_{n,i}$. Alors $e^n \xrightarrow[n\to\infty]{|.|_1}0$ et $e^n \xrightarrow[n\to\infty]{|.|_2}e^0$. Soit $g:[0,1]\to F$ la fonction affine sur les $[\frac1{n+1},\frac1n]$ telle que $g(0)=0$ et $\forall n,\, g(\frac1n)=e^n$. Soit $f:t\mapsto tg(t)$. Alors : $$\frac{f(t)-f(0)}t = g(t)\left\{ \begin{array}{l} \xrightarrow[t\to0]{|.|_1} 0\\[1mm] \xrightarrow[t\to0]{|.|_2} e^0 \end{array}\right.$$
  Donc $f$ est différentiable en $0$ dans les deux cas, de différentielles distinctes (ici $E=\Bbb R$). Si on veut que $0$ soit dans l'intérieur du domaine de $f$, on peut prolonger $f$ par imparité.
• Chalk

  November 2020

  Top merci ;-)