Unicité de la différentielle
Bonjour à tous,
Soit $f$ une fonction d'un $\R$ espace vectoriel $E$ à valeurs dans un $\R$ espace vectoriel $F$.
On se donne deux normes sur $E$, $\Vert . \Vert_1$ et $\Vert . \Vert_2$, et de même sur $F$, $|.|_1$, $|.|_2$.
On suppose que $f$ est différentiable en $x\in E$ à la fois pour les espaces $E$ et $F$ munis des normes $1$ que des normes $2$.
Est-ce que la différentielle de $f$ en $x$ est la même ? Sinon, avez-vous un contre-exemple ?
Merci d'avance
Soit $f$ une fonction d'un $\R$ espace vectoriel $E$ à valeurs dans un $\R$ espace vectoriel $F$.
On se donne deux normes sur $E$, $\Vert . \Vert_1$ et $\Vert . \Vert_2$, et de même sur $F$, $|.|_1$, $|.|_2$.
On suppose que $f$ est différentiable en $x\in E$ à la fois pour les espaces $E$ et $F$ munis des normes $1$ que des normes $2$.
Est-ce que la différentielle de $f$ en $x$ est la même ? Sinon, avez-vous un contre-exemple ?
Merci d'avance
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Réponses
$$A(h) - B(h) = \Vert h\Vert_1 \dfrac{\phi(th)}{\Vert th\Vert_1} + \Vert h\Vert_2 \dfrac{\psi(th)}{\Vert th \Vert_2}$$
avec $ \left| \dfrac{\phi(th)}{\Vert th\Vert_1} \right|_1 \to 0$ lorsque $t\to 0$ et de même pour $\psi$ avec la norme $2$.
Ensuite, impossible de trouver une norme sur $F$ qui me permette de majorer $A(h)-B(h)$ par un truc qui tend vers $0$, les normes sur $F$ n'étant pas équivalentes je reste bloqué.
Pour tout $h\in E$, ${\rm d}f_x(h) = \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} f(x+th)\right|_{t=0}$ et ceci est indépendant de la norme choisie sur $E$, mais pas de la forme choisi sur $F$ car dans $\left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} f(x+th)\right|_{t=0}$ il y a de la convergence dans $F$ qui intervient. Donc ${\rm d}f_x$ est indépendant de la norme sur $E$ (pourvu que la différentielle existe pour la norme considérée), mais a priori pas de celle sur $F$.
Aurais-tu un contre-exemple explicite ?
Donc $f$ est différentiable en $0$ dans les deux cas, de différentielles distinctes (ici $E=\Bbb R$). Si on veut que $0$ soit dans l'intérieur du domaine de $f$, on peut prolonger $f$ par imparité.