Vieillesse et Brouwer

Précision: distance euclidienne sur espace $\R^n$

Merci Amathoué, j'edite.

Merci j'édite aussi f est supposée continue

Oui on peut le dire comme ça aussi, mais j'aime bien exhiber "le confort" qu'on a dans ces phénomènes: il est évident que l'énoncé que j'évoquais entraine Brouwer et pourtant il est nettement moins fort en apparence que celui que tu signales.

Pour faire vivre le fil puisque réponse a été donnée, je vais insister sur une question qui me revient de temps en temps en tête et que je n'ai jamais résolue de manière définitive.

On a une sorte de deux énoncés qui se tiennent par la barbichette. Je ne traite le problème qu'en dimension 2, bien qu'il soit valable en toute dimension fini. Je note $J:=[0,1]$.

Enoncé1 : soit $f$ continue de $J^2$ dans $\R$ telle que $\forall x: (f(0,x) <0$ et $f(1,x)>0$. Alors il existe un connexe $a,b,C$ avec $C$ connexe inclus dans $J^2$ tels que $(a,0)\in C$ et $(b,1)\in C$ et $\forall u\in C: f(u)= 0$

Enoncé2: soit $f$ continue de $J^2$ dans $\R$ et $g := (x,y)\mapsto f(y,x)$. Alors il existe $h\in \{f;g\}$ , $x\in \R$ et il existe $a,b,C$ avec $C$ connexe inclus dans $J^2$ tels que $(a,0)\in C$ et $(b,1)\in C$ et $\forall u\in C: f(u)= x$


Ces deux énoncés se ressemblent un peu, mais le deuxième (équivalent facilement à Brouwer) revêt un profil $\forall \exists$ alors que le premier semble beaucoup plus fort en ce qu'il annonce presque la même chose sous la forme $\exists \forall$ (ie l'absence de besoin du $x$)

Un jour ou l'autre j'aimerais bien savoir s'il existe des liens d'implication prouvable avec des preuves faciles et courtes entre ces deux énoncés (qui sont tous deux des théorèmes se déduisant pas trop difficilement de Brouwer.